这二十条真是金科玉律呢，要收藏一下，权当给孩子励志。.

不错，完整版的哈佛图书馆馆训。.

引用:

原帖由 burninglife 于 2013-11-20 16:49 发表
能贡献一下您的解题思路吗？

浅谈初中几何解题方法

准备说说我当时试讲的那道题目，顺便谈谈初中几何解题方法。
先把题目贴出来，后面慢慢讲吧。其实不是很难的题目，却是个蛮好的讲解证明线段垂直多种解题思路的例子：

Untitled.jpg (15.48 KB)

2013-11-21 12:07

具体解法不着急，后面再详谈。还是先从大的几何解题方法谈起吧。

我记得当年初中老师开始给我介绍几何时，说了这句话：几何几何，想破脑壳！
直到现在，我还认为这句话蛮生动形象的说明了几何解题之难学。
很多几何题目如果你直接看答案的话，会觉得答案中添加那个辅助线简直就是神来之笔，
没看答案之前自己如何想得到？何况在考试时间有限的压力环境下？

所以很多人一提到几何，马上就想要得到所谓的辅助线秘籍，有很多老师也希望想给学生灌输这类秘籍之类的东西来应对几何之难。
我更愿意通过这样的比喻来几何解题之法：
解几何题目就仿佛是射击训练：
  1) 建立武器库，熟悉每件武器的使用方法，适用条件
  2) 观察下射击目标，初步看看目标是什么，有什么明显的特征。
  3) 从武器库中挑选合适的武器
  4) 瞄准目标
  5) 射击。
  6) 如果射击失败，重复第2~5步，直至命中目标

好像有点抽象，且听我一一道来：
1) 建立武器库
什么是武器库？武器库就是几何基础知识，各种基础图形的特征、性质。

举个例子，我说“直角三角形”，你能够想到哪些相关性质？
     * 勾股定理及其逆定理
     * 斜边上的中线长度等于斜边长度的一半(或者说, 斜边中线把直角三角形分成两个等腰三角形)
很好，这是最基础的，然后？
     * 斜边上的中线长的逆定理：若某边上中线长度等于该边长度的一半，那么此三角形必是直角三角形
嗯，继续想?
     * 斜边是该直角三角形的外接圆的直径
不错，可联系到圆的知识，还有么?
     * 把直角三角形放到x-y坐标系中看，则可计算其三顶点的坐标以及边长，可与勾股定理及其逆定理结合证题
     * 把直角三角形放到x-y坐标系中看，则两直角边所在的直线方程的斜率的乘积等于-1（这个超出初中教纲，但是竞赛中可能会用到）
非常好，解析几何有时候也是解题利器的！

能够想到所有这些就差不多了。这就是我所说的武器库。 不同的知识点就仿佛是不同的武器：手枪、机枪、小钢炮... (待续......)

[ 本帖最后由 高山仰止 于 2013-11-21 18:55 编辑 ].

偷师学艺，先收藏了.

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强贴留名.

解题高手确实需要非常扎实的基础知识、举一反三方能做到风轻云淡，杀敌于无形.

静等高山仰止的精彩再续。.

引用:

原帖由 tiangg 于 2013-11-24 20:30 发表
解题高手确实需要非常扎实的基础知识、举一反三方能做到风轻云淡，杀敌于无形

是的，建立在扎实的基础知识上的举一反三方能力是提高解题能力的核心。

我接着上文说。
建立武器库不是说机械地背熟各种基础图形的特征、性质就好，要做到正过来，反过去都可熟练地运用。
比方说上面附图的几何图形中，你看到了长方形，就要能够立即联想到正方形特征和性质，还看到了直角三角形，就要立即想到直角三角形的特征和性质，等等；反过来，看到要证明线段垂直，就会反过来想到哪些图形的特征中与直角有关，比如：等腰三角形的底边的中垂线，直角三角形的两直角边等等，这种综合分析能力是通过对知识点不断进行梳理和训练后形成的。

2) 观察下射击目标，初步看看目标是什么，有什么明显的特征。
就是说拿到题目后，先看看要证明什么，已知条件有什么，有哪些几何特征可以很明显匹配到你的知识库种的知识点。

拿上面附图的几何图形题目为例，待证明的结论是 BE垂直DE, 即要证明两线段垂直。题目中可看到很明显地几何特征： ABCD是长方形（内部还包含几个直角三角形）；ABF直角三角形且E是斜边中点；ACF为等腰三角形，且E是底边中点。这些特征在草稿纸上不妨记下来，当后面思维卡壳时，你可以检查下上述哪些条件和特征还未用上。

3) 从武器库中挑选合适的武器
以例题为例, 要证明的是两线段垂直(BE垂直DE)。那么从我们的武器库(知识库)中可以挑选出以下与垂直有关的知识点，比如：
      1.等腰三角形底边的中垂线
      2.直角三角形(勾股定理逆定理，斜边中线长=斜边长一半...)
      3.一条直线垂直于平行线中的一条，则必垂直于另一条。
      4.菱形的对角线互相垂直。
      5.半圆上的圆周角是直角(圆内接直角三角形)等等。
      6.解析几何：两条直线的斜率乘积=-1，则两直线垂直
      7.解析几何：通过三角形的顶点坐标，计算三边长度，可判定该三角形是否为直角三角形。
      
注意：上面单列出解析几何的两个方法，是因为很多人会忽视解析几何在证题中的用处，但是，如果题目中的基础图形都是些长方形，正三角形等，则每个点的坐标很容易求，进而很容易求出相关的直线斜率和图形的边长，从而通过代数计算达到证题的目的。

这些武器当中有些很可能是可以用来证明此题的。选取哪些武器作为攻克此题的武器呢？看看题目的已知条件和几何特征的匹配度。实际上，除了上面的第3条和第4条与已知条件不太沾边外，其他好像与此题都有匹配。
那就不妨把1, 2, 5, 6, 7都一一试来。

先附上上述运用各种武器的最后证明图:

proof.png (56.75 KB)

2013-11-25 16:21

图中红色的线是添加的辅助线（除解析几何的坐标轴外）. 运用1, 2, 5这每个知识点，则那些辅助线是很自然地就想到了。(待续)

[ 本帖最后由 高山仰止 于 2013-11-25 16:24 编辑 ].

.

好帖，送花.

有意思，等下文。这位爸爸不如开个业余班.

接上文：
4) & 5) 瞄准和射击。
所谓瞄准和射击过程，就是你一个一个地尝试上述武器来攻克目标。
你需要构造出与你的所选知识点（武器）类似的图形（必要时添加辅助线），然后使用各种几何推理方法（全等与相似形、旋转、平移、翻折等）推导出你所构造的图形符合你的所选知识点的几何性质，于是命题得证。

拿具体例子来看。
证法1和2： 所选的知识点（武器）是“等腰三角形底边的中垂线”性质。
那我们必然要把待证明的两个线段放到一个等腰三角形中去看吧？那如何构造这个等腰三角形呢？
最关键点在于，这两个线段必定是：一个线段在该等腰三角形的底边上，另外一个线段就在此底边上的中线上。而且两个线段的交点必是底边的中点。 所以构造此等腰三角形的要诀就在刚才这句话中：
    两个线段的交点必是底边的中点。那么如下图，想构造的等腰三角形只有两种可能，
    情形1) 线段1作为此三角形的底边的一半，线段2则是底边上的中线。
    情形2) 或反过来，线段2作为此三角形的底边的一半，线段1则是底边上的中线。

Untitled.png (15.7 KB)

2013-11-26 16:20

根据此要诀我们马上自然地得到了证法1 和 证法2的辅助线画法：
    证法1：构造的目标等腰三角形是 DPB, BE在地边上，DE是中线。
    证法2：构造的目标等腰三角形是 DBS, DE在地边上，BE是中线。
于是问题转化成为:
    证法1：要证明 DPB 等腰三角形是(DE则是中垂线), 亦或 DP=DB
    证法2：要证明 DBS 等腰三角形是(BE则是中垂线), 亦或 BD=BS
到这里，问题就相对简单了：
    看看已知条件中啦些还没用到：E除了是证法1的PB的中点，或证法2的SD的中点外，还是线段AF的中点。
看到这个要马上想到武器库中的知识点：两个线段相交且互相平分，则他们构成了平行四边形的对角线。
所以证法1的PABF是矩形, 故PDCF也是矩形, 所以 AP=CF=CA=DB(反复运用矩形的对角线相等即可),所以 DPB果真是等腰三角形。
同理，证法2的ADFS是平行四边形,FS//AD, 故FS与FC共线, 所以 BS=BF+FS=BF+DA=BF+CB=CF=AC=DB(反复运用平行四边形的对边相等和对角线相等即可),所以 DBS果真是等腰三角形。
上述思路整理即可得到证明过程。

有人可能会问： 有关中点的题型中不是有这么个套路么：从中点处延长相关线段1倍。像上述的证法1, 2你分析半天，最后还不都是符合这个套路么? (证法1 在中点E处延长BE, 证法2在中点E处延长DE)

问得好，这道题是不用费这个劲分析，直接按套路就可以不问青红皂白地画出证法1 或 证法2的辅助线。考试时我也建议碰到有类似套路不妨马上去尝试下，毕竟时间有限，说不定套路可以帮你速战速决，但:
1) 平时我建议还是多使用分析与综合的思维来提升技巧。平时只管套路少动脑筋的话水平提高得慢。
2) 套路不是总奏效，千万别吊死在套路上了。比如下面这道题是用“逢中点就倍延”的方法恐怕只是死胡同吧，虽然满眼看到的条件都是中点、中点的：
比如下图中，ABCD是正方形，E是AB上的中点，F是BC边上的中点，CE与DF相交于点G。求证: 三角形AGD是等腰三角形。

Untitled2.png (4.21 KB)

2013-11-26 16:20

这道题目用“逢中点就倍延”的老套路就不太奏效了.
所以考试时碰到套路无效时，千万别被套路把思维给堵死了，赶紧开动脑筋另辟蹊径。

[ 本帖最后由 高山仰止 于 2013-11-26 16:23 编辑 ].

看的晕了.

引用:

原帖由 高山仰止 于 2013-11-26 16:20 发表
接上文：
4) & 5) 瞄准和射击。
所谓瞄准和射击过程，就是你一个一个地尝试上述武器来攻克目标。
你需要构造出与你的所选知识点（武器）类似的图形（必要时添加辅助线），然后使用各种几何推理方法（全等与相似形 ...

带着膜拜的心情来学习。.

真是个有心的爸爸， 我只管小孩多运动，赶快完成作业早休息。学业上的基本不管，只管签字。考试成绩也是基本不问。.

不好意思，前两天稍忙点，未及时更帖。

继续以 证法3 为例说明如何证题。
证法3: 武器是 “直角三角形的斜边上的中线长度等于斜边长的一半”的特性。这个特性的逆定理可以用来证明直角三角形。

那么很自然地要想到构造一个直角三角形，找到其斜边的中点，画出斜边上的中线。然后去证明中线长度等于斜边的一半即可。

看看题中的图形： 若BE 垂直于 DE, 那么 BDE 就是摆在我们眼前的目标直角三角形了。所以很自然地我们就会去连接 BD（添加第一条辅助线BD）, BD就是期望中的斜边。

那么斜边 BD 的中点和其上的中线呢？ 这时，注意使用我们武器库中的矩形的特性： BD和AC是矩形的的两个对角线，所以两者的交点M就是BD和AC的中点。所以我们自然画出了第二条辅助线：连接EM, 则 EM 应该是斜边 BD 上的中线。

现在问题就转化为：证明 EM=(BD/2)。
注意我们说过，武器库就是几何基础知识，各种基础图形的特征、性质。要善于把各种基础图形的特征和性质做到正过来，反过去都可熟练地运用：

首先，看看还有哪些题设条件我们没有用到。哦，点 E 是AF的中点还没使用过。
然后，刚才说到过点 M 是BD的中点，那再看看ABCD是矩形，你是否可以敏锐地观察出 ADBF是梯形， EM是该梯形的中位线？ 基础知识再次发挥作用：
   1) ABCD是矩形，所以 AD // BF
   2) 点 E 和点 M 分别是该梯形两腰 AF 与 BD的中点
所以EM是该梯形的中位线，所以：EM=(AD+BF)/2,

距离我们想要的 EM=BD/2 已经非常接近了(一步之遥)，如果你可以证明 AD+BF=BD的话，命题就得证了。
还有哪个题设条件没有使用到？ 对，还有这个已知条件： CF=AC
再次运用矩形的特性：  AD=BC(矩形的对边相等), BD=AC(矩形的对角线相等)，所以：
   EM=(AD+BF)/2=(BC+BF)/2=CF/2=AC/2=BD/2， 命题可以得证了。
把上述思路整理下，就可以得出证法3的过程。

回顾证法3貌似有点巧妙，其实就是反复地运用了矩形的基础特性：对边平行且相等，对角线互相平分。最后结合梯形中位线原理，和直角三角形的斜边中线原理的逆定理得证，都是些简单的基础知识点的自然运用，并没有什么很复杂的、高深的技巧。

[ 本帖最后由 高山仰止 于 2013-11-29 13:07 编辑 ].

强大的爸爸！
好帖！继续跟！.

想看牛爸如何教孩子识字.

牛爸，顶一个。.

哈哈，认真学习一下。当年我妈找女婿的标准第一条就是数理化要好！.

牛爸，我有个疑问想请教一下：
我家儿子小三，对数字很敏感，现在校内数学成绩也不错，但是对于一些图形题，我觉得他的反应及不上一些纯数字题。这是不是会影响他今后初中和高中平面和立体几何图形的学习呢？.

过于客气了，我们就是家长之间的沟通交流吧，没有谁敢自诩是专家哈。以下是鄙人一家之言：

  首先，我觉得你说的那些图形题恐怕是一些找规律的逻辑分析题目吧？不是几何题目吧？我记得小学几何是四年级开始学习的吧？（正方形、矩形、三角形的周长与面积）? 我认为找规律的图形题目与今后的平面几何立体几何关系不大。即便是小学的正方形、矩形、三角形的周长与面积学得不够好，我觉得也不影响在今后的平面几何立体几何中仍然可以学得很好。小学的几何偏重于周长和面积的计算，而初中几何的难点在于几何证明，两种关联不是很大，没必要提前焦虑的。

  其次，我觉得小学生主要是要把算术学好。就是提高计算能力，保证在一定计算速度下的准确性。这是基础。这个其实是我的心痛，因为我儿子小学没给他强调计算能力的训练，导致到目前他的计算能力还是很弱，特别是分数、小数的四则运算。每次看他做计算都心悬在空中，生怕他算错，包括应用题中的计算（即使他算式列对了，也不能保证计算准确）。

  我觉得小学生可以学一点速算技巧，比如乘法的技巧：
1）X5*X5=X*(X+1)*100+25, 比如: 15*15=225 (1*2=2), 25*25=625(2*3=6), 65*65=4225(6*7=42), 85*85=7225(8*9=72)
2) X*11的快速算法
3）(x+a)(x-a)类型的快速算法: 如47*53=50*50-3*3
4) 1a*1b类型的快速算法: 比如 16*19, 13*18, 等
乘法学好上面这些就差不多了，再多了恐怕掌握不牢(切忌贪多不烂)。
如果他对这个速算法产生了好奇心，想知道为什么，也不妨向他展示速算法的代数证明，让他领略数学的奇妙，勾起学习兴趣。

附上一套速算法的书（书写得很不错，有上述4个算法的图解介绍，还介绍了每种加减乘除速算法的代数证明）。

  最后，如果学有余力，不妨在学习三年级应用题的时候，开始引导1元1次方程的概念，然后四、五年级持续地学习方程在解应用题中的应用； 同时，在四、五年级学习几何面积计算的时候，可做三角形等积变换方面的提升。

[ 本帖最后由 高山仰止 于 2013-12-2 12:00 编辑 ].

请教牛爸如何教孩子识字.

我来添块砖。说不上经验，和高山爸爸的专业程度可不能比。但是我觉得我这个旁门左道的认字方法适合我的孩子，给大家参考一下。
我家小子小时候没有专门进行过认字训练，要说认字，正规的也就是他妈妈仅仅给他认过一叠识字卡片。其他，就是我骑着自行车，带他兜马路的时候顺带看路牌，交通指示牌，店招，一路读过去，包括路上东西的名称，比如花坛，卡车，公交，行人，看到什么说什么。为的是给他有一个印象，以后看到文字可以有联想，看的越多，对认字的帮助越大，还有就是教会他查字典（这个可以通过游戏的方式来教他，然后和他比赛谁查的快，几次下来就会了，注意要让他赢几次），这样顺带汉语拼音也解决了。这样，上小学之前小子基本能读新闻晚报了。所以他认字我们基本没什么上心过。这里面虽然难度不大，但关键要细水长流，贵在坚持。

[ 本帖最后由 鸟瞰 于 2013-12-3 10:35 编辑 ].

牛爸一个。孩子的福气。.

引用:

原帖由 高山仰止 于 2013-12-2 11:48 发表
过于客气了，我们就是家长之间的沟通交流吧，没有谁敢自诩是专家哈。以下是鄙人一家之言：

  首先，我觉得你说的那些图形题恐怕是一些找规律的逻辑分析题目吧？不是几何题目吧？我记得小学几何是四年级开始学习的 ...

孩子经常会在数图形这种题上失分。而且他画画很差，所以我感觉他对图形有一种本能的不喜欢。希望象您说的那样，会在今后学习中逐步掌握规律。多谢您百忙之中的回复。顺便说一声，您要以后开班的话，务必要在帖子里吼一声啊！.

开班，霍霍，结棍的.

不好意思，回复晚了点。

我说的是在我儿子身上得到验证的一种自然识字方式，很容易实践，但贵在坚持。
简单的说就是幼儿时期家长坚持与孩子陪读。具体做法是：
  从两三岁开始，从最简单的绘图本（图多字少）开始慢慢过渡到图多字也多的漫画书，家长给孩子读故事书。读的时候，要用手指依次指着你读的故事中的每个字。开始的时候孩子也许只看图，不看你点读的字。这不要紧，你只管自己手指点读即可。坚持几个月以上，奇迹就会在你孩子身上发生。某天他可能会对你说：不用你读了，我自己会看书，碰到不认识的字会问你的。

几个要点：
1）首要的是，不要明确地和孩子说，我要教你认字，而是告诉他，你在给他讲故事，这样他不会抵触。

2）不要强迫他用眼睛去看你点读的字。你只管用手指点读，也不用提醒他去看你手指点读的字。刚开始孩子肯定更多地还是被漫画绘图吸引的。但慢慢地他会对你点读的字感兴趣的，因为他会发现，图里面画的只是故事的片段，完整的故事还是藏在图下面的文字中的。或者当他问你，你为什么要手指点读字的时候，你也可以这样解释给他听（文字里藏着完整的故事哩）。不必直接回答说这样做是要教他认字!

3) 这是一个长期的过程，一是要坚持，二是要相信孩子天生的学习能力。真的很奇妙，不知不觉中你会发现某天孩子会主动说：这个字我认识；或者会主动问你：这个字是什么，含义是什么？如果他主动问，你再去教他认识那个字。

4) 培养孩子爱读书的习惯。多带他逛逛书店，建议家里给孩子开辟一个小书架。

5) 当他某天不再需要你陪读，而是要自己独立看书时，你就放手让他独自看书吧。他会在需要请教你的时候来找你的。(幼儿园中大班就可能就会独立看书了)

Hava a try!

温馨提示：
    对于爱看书的孩子，可能唯一要注意的是：别让幼儿一次看书时间太长(>30分钟），否则小学前眼睛近视了家长都不知道（我家孩子的教训，因为幼儿园一般不测视力的，到小学才知道轻度近视，但真性近视是不可逆的）。

[ 本帖最后由 高山仰止 于 2013-12-3 11:39 编辑 ].

谢谢高山仰止和鸟瞰，接下来认真实践。。.

我也使用同样的方法，让孩子在阅读过程中识字，并且爱上阅读。
支持一下。.

我家也是预初，没奥过就是对数学感兴趣，在班级名列前茅，还拿了个预初年级数学竞赛三等奖，以后要向这位父亲多学习了。.

前面的“浅谈初中几何解题方法”的话题还一直没收尾，这里收个尾吧：

还有证法5和证法6，就不详细讲述了，大致要点如下：
证法5的要点是：
  1) 长方形有个特性：四个顶点共圆，两个对角线(BD与AC)正好是圆的直径
  2) 要证明的结论 BE 垂直于 DE, 则转化为去证明点 E 也落在长方形ABCD的外接圆上即可
  3) 最后通过 角EBF=角EFB=FAC可以证明 ACBE四点共园， 即得证E也落在长方形ABCD的外接圆上

证法6是运用解析几何进行就算即可，毫无技巧，但却又非常容易证明此题（还能给出两个证明方法）：
  1) 很容易地写出点 A, B, C, D, E, F 的坐标
  2) 证明方法1： 计算直线 BE 与 DE 的斜率的乘积 -1 即可
  3) 证明方法2： 计算线段 BE、DE、BD的长度，判断其长度满足勾股定理即可。

其实就这么一道题，讲述了这么多不同的证明方法，是要强调：
1) 要重视建立和梳理知识库（你的证题武器库），每个知识点要达到举一反三的能力。
前面的各种证明方法中，都是运用那些常规的知识点进行推理和反推。那些知识点事后说起来，每个学生应该都会说知道的，但是为什么在具体的证题过程中很多学生却想不到呢？这就是你是否对知识库进行了有效的梳理，是否达到了举一反三的能力。

但是对知识库的梳理和举一反三的能力，绝不是老师把知识都在黑板上写给你看，你背一背就学到手的。
当然，首先是得把知识点记熟，但这还不够，还需要通过一定的有效训练，通过自己的领悟后，才会变成你自身的能力。

那么进行有效的训练呢？就是我前面列举的一题多解的方法。所以第二个要强调的方法就是：
2) 多尝试一题多解
平时训练时，要多进行一题多解的训练。不要仅仅满足于解出一道题目。平时练习中切忌不假思索地使用某些解题套路，貌似很容易地帮你解决了那道题目，但是你反思一下，如果你都不假思索地去完成了那些训练题，那你得到了提升么？你还去做那些训练题有什么意义？

所以一定要勤于思考，在想出了题目的一个证明方法后，不要沾沾自喜，再思考一下：
   * 还有其他的证明方法么? (可扩大思路：除了几何推理外，可否尝试面积法、三角函数法、解析几何法等来证题？)
   * 还有没有更好，更简洁的方法? 数学就是要努力追求简洁嘛。

不同的证题方法肯定会促使你去调动脑海里不同的知识点，这样不断的训练，肯定就会达到对知识点更透彻的理解和举一反三的能力。一题多解的训练效果绝不是那些简单的、机械的题海战术训练所能达到的。.

6年级比例应用题： 运用正比与反比的概念理解题目和解题。

周末给儿子讲解了这道6年级的数学题（旺网上一个牛娃妈妈贴出来的）：
某工地用三种型号的卡车运送土方，已知甲，乙，丙三种卡车载重量之比为10：7:6，速度之比为6：8：9，运送土方的路程之比是15：14：14，三种车辆的数量比是10：5：7。工程开始时，乙，丙两种车全部投入运输，但甲种车只有一半投入，直到10天后，另一半甲种车才投入工作，一共干了25天完成任务，那么，甲种车完成的工作量与总工作量之比是多少？

这个题目儿子想了下，没啥思路。估计太多的数据，之间的关系他搞不明白。就像最近刚刚学的经济问题中的利润、税收之类的计算问题，需要理解利润、售价与成本；税与计税基数等数据关系才可正确地解题。

估计上述题目中一开始就砸给他一大堆数据，他难以搞明白数据之间的关系。我就开始引导他分步解题，探索此题的解法。

我把此题拆分为两道题：
题1) 某工地用三种型号的卡车运送土方，已知甲，乙，丙三种卡车单车运送土方的工作效率之比为28:28:27。三种车辆的数量比是10：5：7。工程开始时，乙，丙两种车全部投入运输，但甲种车只有一半投入，直到10天后，另一半甲种车才投入工作，一共干了25天完成任务，那么，甲种车完成的工作量与总工作量之比是多少？

这道题貌似还是有点罗嗦，但是概念上应该还是很清晰的，没有难以理解的关系。所以儿子立刻说：这个简单，说着就列出了算式：
甲车的工作量： 28*(10/2)*10+28*10*(25-10)=5600
乙车的工作量： 28*5*25=3500
丙车的工作量： 27*7*25=4725
所以，答案是 5600/(5600+3500+4725)=32/79

所以题1应该是个很简单的题目。

那么, 题2是：
某工地用三种型号的卡车运送土方，已知甲，乙，丙三种卡车载重量之比为10：7:6，速度之比为6：8：9，运送土方的路程之比是15：14：14，求三种卡车的运送土方的工作效率之比。

儿子好像也没做过多的思考，就写出来这样的算式：
    甲:乙:丙=(10*15/6) : (7*14/8) : (6*14/9)
我问他： 算式中，为什么是(路程/速度), 他讲不出为什么，只是感觉。看来他是中了这道题的陷阱： 在以前他们学过的行程问题中，老师告诉他们的核心概念是 时间=路程/速度。所以在这里儿子就想当然的联系到了行程问题的公式： 路程/速度

这个概念有点搞。我打算从比例中的正比与反比的概念给他做引导。我这样问他：
  这个工作效率与载重量， 速度，路程有关系，对吧？
儿子表示赞同。我继续问：
  你的算式中，载重量是放在分子上的，是不是意味着：载重量越大的车子，工作效率就越大？
儿子表示赞同和理解。我解释说
  载重量与工作效率成比例；而且载重量越大，工作效率就越大。这就是叫两者成正比。
我继续问：
  那你的算式中，速度是放在分母上的，是不是意味着：运送速度越大的车子，工作效率反而就越小？
儿子说：
  应该反了，运送速度越大的车子，工作效率就越大。
我就问：
  这说明运送速度与工作效率成正比了，那他应该放到分子还是分母上了？
儿子明白了：
  应该放到分子上。
我再问：
  运送路程：路越远，运送效率是越高，还是越低呢？
儿子明白了：
  当然越低了。
我说：
  这说明路程与工作效率成反比。那你说，路程是该在分子上，还是分母上呢？
儿子回答：
  路程该在分母上了。所以比例算式是：
    甲:乙:丙=(10*6/15) : (7*8/14) : (6*9/14)=28:28:27

我看他算式列对了，应该是明白了正比与反比的意义和用法了，就顺势给他从实际的含义层面来解释为什么路程在分母上，速度在分子上：
  其实车运送的工作效率本质上是与车子在单位时间之内，车子在运送出发点和运送目的地之间的往返的次数成正比。
  注意： 与是车子往返的次数成正比。而不是与出发点与目的地的路程成正比。

  我们知道 路程=速度*时间。 那单位时间里，速度越快，车子走的路程就越大, 车子往返的次数就会更大。 所以，
         车子往返的次数 = (单位时间内车子走过的路程)/往返距离 = (时间*车速)/往返距离。
  所以上面的式子显然表明了：工作效率是与车子的车速成正比，与车子单位时间内所走的路程也成正比，但是与往返的距离成反比。

  再看看题目中说说的“运送土方的路程”，请问这个路程是指车子单位时间内所走的路程，还是运送出发点和运送目的地之间的往返距离？ 当然是后者了。

  理解了这个，你就可以从实际应用的含义中明白了，为什么“运送土方的路程”在工作效率的算式中的分母上出现，而不是像常规的行程问题中，往往出现在算式的分子上了。

回头来看，这道题目其实就是我说的那两道题合成的，主要难点还是在第一段话（题2）中。主要是在很多孩子的惯性思维中，看到距离和速度，就不假思索的把 "距离/速度" 写入算式中。

如果懂得从正比、反比的角度分析问题，就不会犯这种错误了。而且正比、反比的概念还是很容易理解的。

[ 本帖最后由 高山仰止 于 2013-12-9 16:41 编辑 ].