跟我的大学数学老师通电话了。我提了一个问题：“您觉得，对于专业学习数学的人来说，初中数学最重要的关键的节点是什么？”

老师：这个问题，我们也经常讨论。大家一致觉得，平面几何是关键。不过呢，现在的教科书刻意把几何弱化了。因为编教科书的人认为，所有的几何问题都可以用代数来解决。但这只是从使用的角度来说的。如果从数学思想形成的角度来说，几何至关重要。学数学的人可以从几何中体会一种重要的数学典范--公理系统。

我：这好比小学的算术。算术运算可以用计算器来代替，但我们仍然要学算术。对学数学的人来说，学算术一定要注意体会算理。

老师：那我来问你一个问题，数学中的公理系统也不少了。为什么一定要在初中通过几何来学习呢？

我：这个我还没有好好想过。从数学的发展史，《几何原本》比较古老（公元前300年），从中国和欧洲的数学发展的对比来说，无几何与有几何可能是导致中国在近两千年的时间中始终没有发展出数学这门单独的学科的原因。

老师：以我个人的意见，几何是最适合初中学习的公理系统典范。尽管有其它的，但都过于专业，不太适合初中生。

以上是老师和我的部分电话内容，为了看的人方便进行了一些整理。

请教各位文科生、理工科生，你们对初中的平面几何曾经有何感受呢？

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2012-6-1 13:46 编辑 ].

可以说说自己对学习几何的体会和认识。前几天，看见易中天也在说几何，有意思的。.

不会辩论，是因为不会思考。不会思考，则是因为我们的学校，从来就不教这个。学校里教的，永远是绝对正确的标准答案，非此即彼的思维方式。怀疑是不可以的，批判是不允许的，分析和实证则是不训练的。至少，文科的课堂里没有，老师们也不会。文科生的逻辑思维能力，全靠中学时代平面几何打下的底子，还得当时就喜欢这门课才行。
甚至就连理科的课堂，也往往只有科学手段(技术和技巧)，没有科学方法，更没有科学精神。因为我们的培养目标，是“成材成器”。能获诺奖最好，起码也得是“有用之才”。这就必须打牢基础。也因此，我们的基础教育质量不差。但他们忘了，基础知识和基本技能固然重要，科学方法和科学精神就更重要。没有科学方法和科学精神，包括诺奖在内的那些东西，永远都可望不可即。何况，那还不该是我们的“奋斗目标”。.

老师是从学科逻辑来说的。也就是说，她是从数学学科的角度看待几何学习的问题。
现在教科书的几何不是按照学科逻辑来的。但要说按照认知发展的角度来编教科书吧，个人觉得，好像也不是。

可能有不少人觉得几何很难是因为做不出几何难题，一方面这是个人的思维特点决定的，但这不是大问题，另一方面是各种考试把几何弄得面目全非，使同学体会不到几何的魅力。
还有些人擅长做几何题，在应试的大背景下，又陷入另一个极端，偏爱于做各种几何难题，滞留在术的层次。

对这两种人来说，学习几何都失去了它本来的意义。也许这就是现在几何被弱化的原因吧。

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2012-6-12 17:27 编辑 ].

用几何也可以证明平方和、平方差和立方和、立方差。逻辑思维有好几种，具体的我也说不全。好像还有语义逻辑吧。

欧几里德几何的逻辑非常严密，构成了一个完美的体系。有趣的是，它把我们的视野从已知的知识按照一种严格的逻辑推导出未知。.

几何原本先将定义、公理、公设，然后以此为基础用一系列的证明推出各种定理和推论。

那么，为什么对几何的研究要从定义开始呢？点、线、平面，难道不是显而易见的么？这有什么可研究的呢？.

也许老师的书可能是串起来的吧。
教科书上现在是这么做的。一个完整的学科，例如几何，被分成若干部分，这学期讲一部分，下学期讲一部分，再下学期再讲一部分。分成若干个部分。.

幼儿和小学生没有什么特别的几何书。这个年龄的孩子的逻辑思维还在萌芽状态，不足以支撑系统的几何学习。个别孩子也许可以。所以，这时的几何带有启蒙的性质。
折纸是跟几何相关的游戏。从开始的父母示范折纸，孩子围观，到孩子自己看书折纸，父母围观，对点线面的理解都在里边了。其他如积木，也跟几何有关。如果孩子喜欢这些游戏，那么，家长不要认为他们不干正事儿而禁止这些游戏，随其自然地让孩子玩。如果孩子不喜欢这些游戏，也不要强求。生活中处处有几何。

小学生要学会一些基本的几何相关技能，如运用几何工具（三角板和圆规）、画长方形、正方形、三角形等。要注意使用线段图和路程图解题，学会正确的标注方法。

要说趣味的话，高年级可以看看《可怕的科学》之《玩转几何》。.

虽然这是数学社的帖子，但我还是要说，语言是幼儿小学阶段学习的重点。几何这么强的逻辑，孩子可能不接受，但是，像说理这样的语言逻辑，孩子是可以接受的。而且，在美国，这是语言学科学习的重点。简单的说，小学高年级阶段的孩子可能突然显露出喜欢争辩的特点。这是好事儿。如果家长碰到，要把孩子视为平等的对手予以尊重，认认真真地跟他辩论。当然，输或者赢不重要，重要的是在辩论中进行学习。.

几何的逻辑在几何作图中自然会呈现出来。三年级以上，可以学学尺规作图。画长方形、正方形什么的。.

推荐《数理化自学丛书》之《平面几何》。好处是：

1、与教科书的内容不重复。
2、起点低，基础内容扎实。
3、系统性强。
4、习题不难。

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2012-6-21 10:54

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2012-6-21 10:54 编辑 ].

起步学习几何，先要学会传统的尺规作图。

然后，学习掌握计算机软件－－《几何画板》

http://www.jinhu.me/article.asp?id=190

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2012-6-21 11:07 编辑 ].

例如，拿一张报纸，撕成不规则的形状，然后，让孩子撕成标准的正方形和长方形。在这个过程中，就要用到不少几何知识。.

有好处。小学期间做某些应用题时，可以尝试图形解题的方式。不过，要说学几何不仅仅为了做几何题，那么，还需要孩子有较强的语言逻辑。这个对语文有一定的要求。也不用过于担心，语文学到初中，语言上的支撑也够了。说到语言逻辑，除了课外阅读，小学高年级的时候有空玩玩辩论也是好的。

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2012-6-25 21:25 编辑 ].

引用:

原帖由 小磨子妈妈 于 2012-6-25 22:24 发表
平面几何，当年俺的最爱。高中的立体几何就简单的多呀。平几的证明题，太多神来之笔。

是的。平几的证明有些太难了。不过，做题不是现在学习平几的重点。现在有了计算机辅助软件，可以将代数、几何、解析几何贯穿起来。用平几的基本技能 + 解析几何，平几就没什么难题了。.

http://ishare.iask.sina.com.cn/f/5770996.html

是这个么？.

一点都不强大的。

我发现，初中的数学，要想孩子学的好，一定要靠学生自发的思考。在他的思想深处上，要打开对数学的这道门，接纳和容纳数学。否则，始终是个“门外汉”。作为一个“门外汉”，要想取得数学成绩，即便成功也要付出几乎不可承受的代价。

对家长来说，关键不在于自己学会多少数学。而是在什么阶段以及如何把孩子对数学的这扇门打开。一旦孩子能在数学里边找到了兴趣，开始玩耍起来了，也就是做到了自主学习，家长的任务也就基本完成了。

因此，把小学、初中和高中的数学学习按照自主学习这条主线做了一个阶段性的分类：
在小学低年级阶段，要培养孩子对数学的兴趣，养成良好的数学学习的习惯。在小学高年级阶段，鼓励孩子开始自主学习。
初中阶段，在老师和家长的协助下，孩子尝试和实践自主学习。
高中阶段，孩子能完全地进行自主学习。

当然，自主学习不限于数学。通过阅读、看电影学习语言，也是自主学习。家长中有一个是厨师，教孩子炒菜，也可以作为引导自主学习的内容。

忒不忍心了，把您下定的决心给打跑了。.

话说回来。如何引导孩子自主学习初中数学，包括几何，好像办法还不多，适合的书籍也不多。

大家有什么办法吗？.

知道了。俺的任务是把几何里边的“油盐酱醋葱姜蒜”搞清楚。先斗胆接下这个任务。.

28#，算几何小实践吧，有做过吗？.

引用:

原帖由 不不园 于 2012-6-28 13:54 发表
您老说得对呀，家长里有厨子，可以引导孩子炒菜。可家长自己要是对烧菜一窍不通，这个就麻烦了，所以家长决定自己先学起来，至少把油盐酱醋葱姜蒜搞清楚了。六十岁学吹打，说不定就能当成大厨了。

您老先说说，如果要教孩子学唐诗，应该肿么教呢？就以 Alex 这样的小五生为例吧。.

唐诗为什么要教？我不知道小五有什么要求，不晓得怎么回答这个问题。
答：几何也不需要教。而且，自学没什么要求。尽情地学就是了。

很多东西是天性吧，我四年级时第一次看见语文课本里的古诗，激动得要命，就觉得“哪里曾经见过“，一见钟情大概就是这种感觉。
可是，几何图形在我脑子里，完全就是无序的存在，一点摸不着头脑的。
答：欧几里得几何比唐诗还古老。所以，人的天性中有对几何的感觉。

要提高文科容易，要学通理科太难，这是我的感言。文科就是读、读、读，听、听、听，总有一天这些优美的东西会内化到你心里。反正我知道的例子，数学系毕业的，最终做了中文系的教授。反过来，好像没听说过。
答：几何就是画、画、画、思考、思考、思考，几何的逻辑美会内化到你心里。

还有，多思的人，大概诗词方面会强一点。可是，男生要那么善感做啥？
答：理性和感性是同时存在的。一生二，二生三，三生万物。很少有纯粹的理性和感性，自然的人介于理性和感性之间，人上一百，形形色色。.

引用:

原帖由 不不园 于 2012-6-28 18:51 发表
没有，这就回家做去。我们疯狂喜欢折纸，疯狂喜欢乐高，姑且就算是小朋友的自我几何训练吧。

这样，几何的体验基础就已经有了。让他自己玩去。

在小学数学中，基本的如长方形、正方形、等腰三角形、正三角形，要经常用尺规画。
另外，注意使用画图解题的方法。一些方程的题，如鸡兔同笼、路程问题、分数加减等都可以尝试用画图的方法来解决。各位不妨从三四五年级的数学应用题里边挑几道出来，大家看看怎么用几何的方法去解决。.

从学习这个角度来说，唐诗和几何没什么直接的联系。教的方法，在大的方面是一致的，无非是培养兴趣、引导同学体验、感悟、思考。

不过呢，学习几何需要一定的语言理解力、表达能力和语言逻辑。我猜，这大概就是在初中才正式学习几何的原因。

Alex 曾经在四年级试读过几何原本，不太成功，原因就在于语言的理解力和表达能力欠缺了些。.

确实有一点都不感兴趣的。这个，也只能顺其自然了。.

引用:

原帖由 jiangying 于 2012-6-29 21:59 发表
怎样学通数学，我倒是有点想法，本来想写出来，可惜写了一点写不下去了

有想法是一回事，写出来又是另一回事。

也许有一天我会继续写吧。

没关系。可能是想法还不成熟。也可以先写点或者转载也行。有时候，观点在讨论中会慢慢清晰起来。.

既然丘老也这么说，看来这个思路是对的。

现在可以尝试把计算机用上。做过试验，几何画板软件可以用解析几何把代数、几何混为一坛。例如，使孩子学习代数时，明白不等式、因式分解的几何意义等。

听说可以把概率论用在π的计算上，这几天我抽空想了想。假设有一个圆外接正方形，可以用随机程序在正方形内产生一些点，计算落在圆内的点的数量（C），计算点的总数（Ct），那么：
C / Ct -> πRR / 4RR = π / 4
即：
4 C / Ct -> π

以后有空玩玩这个程序。

备注：这个想法可能有缺陷。C / Ct 是分数，而 π 是无理数。用分数除法可能浮点运算的限制。

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2012-6-30 22:27 编辑 ].

说唐诗是因为不不园女侠是文科滴。而且，从教学角度，教唐诗和教数学两者有相通的地方。

孙老师的书我买了，《孙维刚初中数学》和《孙维刚高中数学》。粗看了一下。

我把初中数学的学习分为三个阶段：
1、自学或者预习阶段。自学用书应浅显，系统性好，内容丰富。
2、课堂学习阶段。上课的时候认真思考，解决自学阶段中的疑惑和问题。
3、复习阶段。孙老师的书比较适合。

初中的数学内容比较多。个人以为，家长和老师没法把所有的问题都讲一遍，都讲透。童鞋要学得好，就要学会一隅知三。老师说一，童鞋自己去把另外三个角都想一遍。这对自学能力、思考能力都是一种考验。

家长要转变小学遗留下来的辅导为主的状态，让孩子扔掉家长这个拐棍。再扶下去，费力，效果不好，还不利于孩子的独立性养成。

总之，初中数学的路，童鞋必需学会自己走。要达到这种状态，童鞋要渐渐习惯在脑子里要有两个“我”。一个“我”提问，一个“我”证明。刚开始这么做的时候，思维有些乱。不要紧。想通了，心头自然一片澄明，怎么考也不会糊。

[ 本帖最后由 ccpaging 于 2012-6-30 22:14 编辑 ].