“在四边形ABCD中，E、F、M、N分别是AB、CD、AD、BC边的中点，联结AN、BM交于P点，联结DN、CM交于Q点。求证：PQ∥MN。”

这是一道寓意深刻的平面几何题。.

我在东方热线的论坛上发表了对李不凡一题的评论:

http://forum.cnool.net/topic_sho ... 494&flag=topic1

大家可以参考一下.

(字母有些错，更正一下: 应该是PQ∥EF.).

这是今年7月ＩＭＯ中国国家队平面几何培训资料：

[ 本帖最后由 老封 于 2007-9-10 13:32 编辑 ].

好贴，先收藏了.

爱因斯坦说得好，真正有意义的事情不是被逼迫着做的，反倒都是私下里做的，有时甚至是偷偷摸摸做的。我体会他的话，意思是：只有自觉自愿去做一件事，才最能体现出一个人的本性。
我喜欢书，就是这样一种自觉自愿的事情。
我的藏书大多购自旧书店和旧书摊，市面上流行的书籍反而较少购买，一是嫌它价贵，二是嫌它不合胃口。
有些朋友嫌弃我的这些旧书，认为放在家中不卫生。诚然，我也承认，说穿了“书香”其实就是一股淡淡的霉味，很多人不会喜欢；但对我而言，这股气味不但不令人讨厌，反而让人感到是种享受！
我很自信于自己的挑书眼光，相信所拥有的这些书，尽管外表很不起眼，却有其自身的品位。我的藏书门类相当杂，既有专业类的科技图书，也有文史哲学术著作，天文地理，科普读物，文学著作，文艺评论，甚至还有科幻小说，儿童读物……在书的海洋中，我得到了莫大的满足。
现代生活的诱惑是多方面的，大千世界确是有其精彩纷呈的一面。并不是说，所有人都要千篇一律地把书当成第一乐趣——这是一种过分的要求，也是万万不可能办到的——萝卜青菜各有所好是应该的。不过在我看来，与书的世界相比而言，物质世界和放浪生活所能带来的乐趣远比想象中的有限，尤其是当你经历过之后。所以说，这个世界里谁该羡慕谁永远是件说不清的事，就像究竟先有鸡，还是先有蛋一样。那些认为书生是可怜虫的人，也许自己更是个可怜虫，也说不准呢。
一次在电视里听到金庸大侠这样说道：如果要让他做个选择：一是关在监狱里然而可以看书，二是鬼混在花花世界里但却不允许看书，他会最终选择前者。
这说明了什么？说明大侠已领悟到书的世界与花花世界足堪匹敌。谁谓书中不风流！
不过，在现实当中，疏远书──这样一位益友的却大有人在。钱钟书先生在《写在人生边上》一书中表达过这样一个意思。他说读书（其实可引申为一切与做学问有关的事）是件雅事，很少会有人以为自己不喜欢，但其实却是苦事，所以很多人口中称喜欢，但真能有“跳出火炕”的机会，他总不会放弃。所以，一旦没有其它外在的推动力，就很少有人会再去留连于之。而所留下的，聊聊的，在没有任何压迫之下仍然爱读书的人，真可谓是少有的“情痴情种”了。
钱先生的这番意思，并不玄奥，但那涵义其实却是沉重的。它揭示了这样一个道理：目前的读书大抵是功利型的，尤其是在当今日趋竞争的世道里，兴趣越来越少有它的地位了。
其实对于我来说，喜欢书是件非常朴素的事情，因为它能给我带来乐趣。每当夜深人静，书便成了我最好的伴侣。不怕见笑，在我所喜欢的诸多书籍当中，尤其包括了安徒生的童话。我特别体会到了在他的笔下，有着一种人生的崇高追求。
是的，在我的理解中，人生是非常有意思的，尤其是当你找到了志趣相投的伙伴，晚上的时光，一起读些共同感兴趣的书，探讨各种学问，那真是很令人神往的。
但另一方面，人生却又是孤寂的，它会被一种无休止的生存的搏击所吞没，在灰暗中找到各自漫长而又缺乏梦幻的归宿。上述所谓的那种令人神往的境界很难在现实生活中实现。这真可谓是人生无情的一面。
我复旦时的一位同学一次来信说：“真的，我有时常想到人生的痛苦，佛说苦海无边，回头是岸，这个岸也许无非是精神的升华吧？尼采的还是叔本华的似乎都没有什么用处。我看现在的小说也很少有触及人类灵魂的思考，这也许不是这一代中国作家胜任的了。”
在这封信中渗透着一种无耐的、苦味的、现代人的孤独感。
然而书，却是一位永恒的朋友，它可以默默地，无条件地陪伴你度过终生，而且它对于任何人都同样敞开着自己温暖而又博大的怀抱，让你从中获得灵魂的滋润和慰藉。
我觉得，长期的读书，使人的世界观更为丰富，不被眼前的现象所局限。尽管日常生活非常繁琐，也能保持精神世界之富有，使得人生中常有一种崇高的动力驱使自己进步，不作一个苟存于人世的势利之徒。
曾经读到过一篇王小波的文章。他认为中国目前正处在黄金世道，人与人之间互相管不了，虽说有时会感受到一种无边的压力，会感觉到空气凝固到窒息，但这恰恰意味着中国社会的进步。以前是“早请示，晚汇报”，属于“计划经济”模式，所有人能喝到现成的“奶”，而现在则要靠自己去生存。人只有在这样的氛围中才能呼吸到新鲜空气。
这一观点我觉得有相当的道理。最为厌恶中国人的瞎折腾，所以宁可不要一张别人画好的现成的蓝图。
也许庄子早就料到了这一点：“相呴以湿，相濡以沫，不如相忘于江湖。”最好各管各，别互相干扰！
诚然在绝对自由的氛围中人最容易感受到孤独——这也说明了自由比想象中的更为残酷——但热爱自由的人往往是不怕残酷的！人要有“躲进小楼成一统，管他冬夏与春秋”的气概，不要太去在乎环境和评价，那么就能享受到真的自由。
不要太孤立自己，也不要太融入，这是一种值得推崇的原则。一方面，有些人甘做体制内的虫；另一方面，有些人学会了体制内求生存，体制外谋发展的真功夫。我们应该像后者那样，发扬 “冬虫夏草”精神，即使在不利的环境内也要学会自己生长。
读书多了，腰杆子硬了，做人就能更挺拔。不过腐草也许并不甘心自己的衰败，它们缠人的功夫一般人是学不会的。世道之险有时也会出乎人的意料，所以我们还得抽出一部分的精力去应付。有时也会像鲁迅那样，感觉到自己是个“横站的士兵”。谁谓书的世界不险峻！
但我想，这样的话，人生的意义顿减，纷繁的世态，也更为之变得难以预测。如果人人都像“乌眼鸡”似的，那么活着的乐趣就会降低到零点。这种旋律只是现代都市冷酷的那一面吧！
但是善良的人们，却执着地在追求一种更为高尚的人生。安徒生在“海的女儿”这篇童话的末尾写道：
“我们飞向炎热的国度里去，那儿散布着疫病的空气在伤害着人民，我们可以吹起清凉的风，可以把花香在空气中传播，我们可以散布健康和愉快的精神。”
让我们大家都爱书吧；让文化在我们的大地上生根、发芽，结出更为丰硕的果实。.

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I是△ABC的内心，AI、BI、CI的中垂线交各边于D、E、F、G、H、J。
求证：DG、EH、FJ共点于I。

（参见：http://forum.cnool.net/thesis.jsp?thesisid=494）.

老封老师、田老师的几何功力令人叹为观止。几何问题命题难度，要远远大于证明的难度。所以几何命题更加能够体现功力。
207楼这道题证明：由于CJIH和BFIG都是菱形，所以FI∥BC且IJ∥BC，因此F、I、J三点共线，FJ过I点；同理可得其他两条线也过I点。.

谢谢Wood的点评。的确，这题不太难。我想这只是田兄抛砖引玉的第一步吧。

果然，这题是可以发展的，当取△ABC的垂心H时，也有类似的结论。这时，三条联线共点于原三角形ABC的九点圆心。

昨天我与几位初中同学讨论了这一新构形，大家的思路非常活跃，一点都没有被“九点圆心”这一陌生的概念所吓倒。他们意识到，只要证明一个相应的等价命题就可以了，而这比原题简单得多。各位有兴趣的都试试吧
（提示一下：图中有线索表明，这三条联线都被九点圆心所平分！）

[ 本帖最后由 老封 于 2007-9-26 09:53 编辑 ].

设O是△ABC的外心。O1、O2、O3分别是△OBC、△OCA、△OAB的外心。
求证：AO1、BO2、CO3共点。.

旧书店是我的乐园。那里汇集着各种来源的书，有图书馆报废处理的，有新书店积压转来的，有读者自己淘汰的，也有文化老人过世后由家人清理出来的。长年来，我保持着常逛旧书店的习惯，在鱼龙混杂的旧书中淘到过不少梦寐以求的好书。最近一整理，发觉其中竟有相当一些带有作者或其他人的签名，这又给我带来了一种意外的乐趣。
《文学遗产增刊》（一）～（十三），每本的扉页上都有“复旦大学图书馆藏书之章”（已注销）、刘大杰本人印章及“刘大杰教授赠”这三枚印章。在第八辑上还有刘先生的签名，其它好几册上也都有刘先生所作的一些标记。1955年版的［苏联］阿·邦金《我的学校》里面夹有这样一张条子：“沈同志的译本已找到。但藏书同志不舍得作为发排本；最好复印后发印刷厂排版。…… 祝好！陈伯吹，1985年5月24日。”表明它原系儿童文学家陈伯吹先生所藏。中华书局出版的《杜甫研究论文集》（三辑）及《李白研究论文集》皆系黄裳先生旧藏，如其中《杜甫研究论文集》第二辑扉页上写着：“黄裳，1963年12月27日，毛主席七十生日后一日”，书中“杜诗版本目录”一文旁，有黄裳先生的批语共十九条，另外还有他所加的不少记号；而人民文学出版社内部发行的《西方现代派文学问题论争集（上）》前，也有黄裳先生的签名：“黄裳，1985年10月26日”。《从荆河到沂河》（苗得雨，阎一强著，新文艺出版社1957年版）一书，原系出版社保留的作者修改本，从中可看出该书的一些修改情况。Verse & Worse是一本英文原版书，1902年由上海的东方印书馆（Oriental Press）印制，内容涉及当时上海的风情，作者以散文及诗歌的形式描绘了其见闻，还配有59幅精采插图。难得的是，扉页带有作者的题赠：“To His Excellency Jang Shao-Ji with the author’s kind regards——J.O.P.Bland，Peking，1907”。《中学英文名著选》（葛传椝编注，上海竞文书局，中华民国38年3月再版）内写有：“To Mr. Victor Dum(邓承明)——Hertz.C.K.Kê（葛传椝）”，封面上有邓承明的签名：“Victor”；书中还夹有一封俞亢泳于病塌上写给“邓兄” 的信，说及欲同去拜望葛师。James Boswell 的The Life of Samuel Johnson一书扉页写有：“俞亢泳一九四六购于沪上”。
同样带有签名的还有：“王刚，茜娜贤伉俪惠存。辛笛，86年3月24日”（《辛笛诗稿》）；“赠秀清。之琳，1982年4月17日于北京”（《西窗集》，卞之琳编译）； “大杰先生教正。后学马茂元谨赠，61年于上海”（《唐诗选》［上、下］）；“大杰同志教正。伍蠡甫，1963年9月”（《西方文论选》［上、下］）；“大杰先生赐正。仲联呈”（《李贺诗选注》）；“敬请大杰先生教正。吴文治，65年9月，北京”（《古典文学研究资料汇编——柳宗元卷》［第一、二册］）；“刘大杰同志指教。  艾德林敬赠，1964年5月31日”  （《Тао  Юань—мин  ЛИРИКА》）；“1959年11月6日收到。大杰”（《中国文学史讨论集》）；“已校正。苏步青，1965年7月30日”（《高等几何讲义》）；“朱雯同志指正。方平，1982年5月23日”（《文学评论》82年第3期）；“谨赠荒芜兄赏阅。大风，丙寅初夏”（《兼于阁诗话》，陈声聪著）；“元化同志教正。张少康敬赠，97年6月”（《先秦两汉文论选》）；“洪林，振珉同志指正。金近，1986年2月21日”（《爱听童话的仙鹤》）；“刘小蕙同志正译。任溶溶，1983年1月30日”（《假话国历险记》）；“邓珂云，曹雷同志惠存。景唐，言昭，1981年9月”（《诗人殷夫的生平及其作品——纪念烈士牺牲50周年》）；“一纲同志指正。张毕来，1978年11月7日”（《漫说红楼》）；“士明兄正。何满子，93年3月”（《古代小说艺术漫话》）；“榕立同志指正。蒋星煜敬赠，1982年冬”（《中国戏曲史钩沉》）；“海珊同志指正。世金”（《文学艺术民族特色试探》，牟世金著）；“一智兄指正。倪墨炎，85年3月”（《鲁迅后期思想研究》）； “屠基诒同志指正。卢润祥，1981年5月5日”（《元人小令选》）；“上海作协收。卢润祥”（《神秘的侦探世界——程小青孙了红小说艺术谈》）；“华庭同志惠存。郁云赠，82年1月”（《闲书》，郁达夫著）； “洪斌同志闲阅。编者（韦顺），1987年11月北京”（《韦素园选集》）；“李龙牧同志指正。董问樵谨赠，81年7月”（《文艺论丛》之十三）；“浚吉同志指正。钧陶敬赠，1981年9月20日”（《鲁迅诗歌选译》）；“文伊同志指正。钧陶敬赠，1986年1月9日”（《杜甫诗英译一百五十首》）；“谨志对陈正炎同志的深切怀念，恭请徐雪筠同志教正。林其锬敬赠，1986年8月20日”（《中国古代大同思想研究》，陈正炎，林其锬著）；“志显同志指正。陈美林敬赠，84年11月”（《吴敬梓研究》）；“秋祥先生郢政。曹旭敬呈，1995年3月”（《诗品集注》）；“赠上海社会科学院。曹青芷，99年3月”（《诗品通释》［唐］司空图，曹冷泉注释）；“陆灏同志指正。钱鸿嘉，88年春”（ 《温亭娜》［德］富凯著，钱鸿嘉译）；“敬爱的姜老教正。朱逸森，1984年10月”（《短篇小说家契诃夫》）；“温处长斧正。方晓光，86年3月北京”（《狄更斯传》［英］赫·皮尔逊著，谢天振，方晓光等译）；“杨承紘同志指正。周林东，87年5月”（《创造力和直觉——一个物理学家对于东西方的考察》［日］汤川秀树著）；“国平同志教正。吴添汗，陈茂兹赠，91年9月”（《方以智》）；“志华同志指正。王永生，82年3月10日”（《鲁迅文艺思想初探》）；“庐龙（？）兄指正。荣正一，1986年3月10日”（《论鲁迅精神》）；“永俣老师指正。周永祥敬赠，83年11月”（《瞿秋白年谱》）；“谢稚柳先生指正。瞿秋白纪念馆赠阅，1992年2月”（《瞿秋白研究（4）》）；“徐阳同志指正。姜丕之，1988年12月”（《黑格尔迷宫的路标》）； “陈和同志雅正。尚丁，1999年1月”（《鸦雀有声》）；“姚隽先学教我。刘静生，93年9月”（《李商隐抒情诗艺术透视》）；“士明兄斧正。弟少华敬赠，93年5月”（《上古神话系列小说》）；“姜平同志指正。刘毓璜，1985年3月26日”（《先秦诸子初探》）；“华庭同志惠存。品貘赠”（《续西游记》［清］贞复居士评点，路工，田牧校勘）；“文宝，鲁娜同志惠存。朴之，6月19日”（《平凡的故事》［俄］冈察洛夫著，周朴之译）；“秋祥吾兄指正。能船敬赠，丁卯年春节初三”（《说苑选（注译本）》）；“秋祥先生阅正。曹旭敬呈，1991年12月”（《黄遵宪诗选》）；“小松兄存念。刘衍文，1994年10月”（《袁枚续诗品详注》）；“若愚方家先生斧政。杨春霖敬贻，83年11月”（《西北大学学报1982年第2期》）；“欣秋女士正之。张锦池， 98年1月”（《西游记考论》）； “少华同志指正。中孚，85年8月9日”（《晚唐诗人杜牧》）；“徐中玉先生教正。后学陈洪谨奉，97年3月”（《金圣叹传论》）；“林秀清教授指正。陈挺敬赠，88年12月”（《比较文学简编》）； “郦国义先生指正。阎晶明，2001年8月”（《鲁迅的文化视野》）；“克新同志指正。曹正文，84年9月”（《咏鸟诗话》）；“夏翀兄雅正。曹正文，96年2月”（《武侠世界的怪才》）；“胡士明先生指教。萧文苑，1994年秋”（《唐诗情韵》）；“魏同贤同志指正。徐元，1986年10月”（《历代讽谕诗选》）；“魏同贤同志指正。范光森，85年9月”（《明清故事》）；“同贤同志教正。周天，87年3月”（《论〈创业史〉的艺术构思》）；“绍愚同志指正。王恩保，89年3月5日”（《鲁迅著作古代人物词典》）；“竺少华同志指正。方正耀，87年元月”（《明清人情小说研究》）；“89年旧作敬呈咸淳先生批判纠谬”（《清代小说》，李汉秋，胡益民著）；“秋祥同志指正。梅祥于82年”（《诗圣杜甫》）； “士明兄正之。勋初，86年正月”（《韩非》）； “胡士明先生惠正。钱鸿瑛，92年冬”（《周邦彦词赏析》）；“士明兄雅正。作者敬赠，92年10月”（《唐宋文精华》，蒋凡选注）； “姚隽兄指正。孙玮，92年1月3日”（《人》［立陶宛］梅热拉伊蒂斯抒情诗集）；“徐建同志指正。宋永毅，88年9月”（《老舍与中国文化观念》）；“何泽福老师教正。宋兴华敬赠，82年3月8日”（《邹容传》）；“敬请汪耀南教授指正。学生佘大平，94年秋”（《马致远杂剧研究》）；“咸淳兄指正。孙琴安，91年？月”（《现代诗四十家风格论》）；“咸淳兄指正。苏浙生，89年6月3日”（《决胜千里——张良的故事》）；“夏咸淳先生指正。苏浙生，91年6月11日”（《书之恋》）；“李纪恩女士惠正。万树玉，李岫赠，1996年7月”（《茅盾和我》）；“传端、史军学长指正。大箴，83年3月”（《现代派美术浅议》）；“罗汉田同志指正。凌波，1989年1月6日南宁”（《南方的风》）；“德之战友指正。邱宣煌，1981年10月”（《神医华佗》）；“新春同志指正。德春敬赠， 84年6月沪”（《修辞学探索》）；“沙××指正。安忆， 84年1月22日”（《王安忆中短篇小说集》）；“叶新兄教正。马瑞芳敬赠，93年7月”（《聊斋志异创作论》）；“邓叔野老师：请提意见。王正文，1989年3月4日”（《英语常见同义词辨异》）；“陈燊同志自北京寄赠。逸森，1980年1月”（《外国文学研究集刊》第1辑）； “逸森同志惠存。凤麟，1983年10月”（《叶赛宁评介及诗选》）；  “朱逸森同志指正。赵灏， 82年7月24日”（《六十支蜡烛》［苏］弗·田德里亚科夫）；“逸森同志指正。廖鸿钧， 81年10月28日”（《阿勃拉莫夫中篇小说选》）；“逸森同志教正。叶文， 93年8月”（《王后复仇记——尼伯龙根之歌》）；“逸森、文樾同志指正。沈受君，1982年8月19日”（《世界旅游概览》）；“逸森同志指正。邓蜀平敬赠， 1982年6月”（《苏联当代短篇小说》［上］）；“逸森、文樾同志指正。蜀平敬赠， 84年4月”（《苏联当代短篇小说》［下］）；“汝衡吾师教正。学生国梁， 1986年4月”（《明清小说探幽》），陈汝衡教授将书中提到他名字的几处一一用红笔划出，并在目录和正文中作了个别批注。《鲁迅论美术》（张望编，人民美术出版社1956年版）的扉页上写着：“袁良骏，1960年”。新文艺出版社1957年出版的《费尔丁》（爱利斯特拉托娃著，李从弼译）一书上有已故翻译家项星耀的签名。在《新文学的先驱——〈新青年〉、〈新潮〉及其他作品选》一书中，夹有陈子善先生的一封信。《明清案狱故事选》的扉页则写着：“洪丕谟，1984年3月26日”并盖有印章。《爱的破裂》一书扉页上有一段较长的赠言：“金雯小姐见笑了！玩得畅快，工作得勤笃，——我这般生活着，无论过去，抑或将来！这本书就是在玩中，于呕心沥血的工作中，飘到了读者的手中。这是我出版的第三本文学作品集。很怪，是的，我并不关心读者所热衷的题材，——社会，人生乃为我的敏感与醉心的视角！作为作家写出个故事当然是易如反掌的，但不同凡响的是，于故事中，能犁出理性的，思辩的火花！——我努力着！夏仲荪，1989年8月7日”
估计每本这样的书背后都蕴藏着一个生动的小故事。然而，奇怪的是这些可谓“踏破铁鞋无觅处”的宝贝怎么会一本一本都跑进旧书店，最后又怎么会都聚集到我一人之手的？天下竟有这等巧合事，连我自己也觉得难以解释，也许只能归结于“缘份”两个字了。
    书与某些东西恰好相反，往往是愈老愈见情趣。旧书店，它常给人带来惊喜，又使人能以相对较低的价格买到自己珍爱的品种，所以，我喜爱旧书店。.

今年全国联赛中的平几题为：
“在锐角△ABC中，AB＜AC，AD是边BC上的高，P是线段AD内一点。过P作PE⊥AC，垂足为E，作PF⊥AB，垂足为Ｆ。O1、O2分别是△BDF、△CDE的外心。求证：O1、O2、E、F四点共圆的充要条件为P是△ABC的垂心。”.

这题似乎一点不难。充分性是显然的，因为所共圆就是九点圆。

靠些简单的角度计算，就能说明必要性等价于∠PBA＝∠PCA；而再加上一次反射就能轻松解决问题。

2006年国家队培训题中曾经有过一题，两者图形有些联系：
“在△ABC中，AD，BE，CF是高， H是垂心，O是△HBC的外心，O1，O1是BH，CH的中点。求证：AO，FO1，EO2三线共点。”

[ 本帖最后由 老封 于 2007-10-15 14:48 编辑 ].

另外，今天我还探索到这样一个结论：
“P是△ABC中一点，过P作PE⊥AC，垂足为E，作PF⊥AB，垂足为Ｆ。O1、O2分别是PB、PC的中点。求证：AP、FO1、EO2三线共点的充要条件是：P点落在直线AO上，其中O是△ABC的外心。”

好象还不算平凡。有兴趣的不妨试试！.

今年高中联赛几何题题是不是也应该算陈题？
显然o1、o2分别是BP、CP的中点，所以∠o1o2E=∠o1o2P+∠Po2E=∠PCD+2∠PCA；
∠o1FE=∠o1FP+∠PFE=(90-∠PBA)+∠PAC=180-(∠PBA+∠ACB)；
所以o1、o2、E、F共圆等价于∠o1FE+∠o1o2E=180等价于∠PBA+∠ACB=∠PCD+2∠PCA等价于∠PBA=∠PCA。
充分性：P是垂心则∠PBA=∠PCA是显然的。
必要性：属于单老师《几何中的小花》第27题。也就是上面老封老师说起的反射一下可以证明。
做B关于AD的对称点G，延长BP与AC交于H。∠AGP=∠PBA=∠PCA，所以A、C、G、P四点共圆，因此∠HBC=∠PGD=∠PAC，
因此A、B、D、H也四点共圆。所以∠BEA=90，因此P为三角形垂心。

[ 本帖最后由 wood 于 2007-10-16 13:26 编辑 ].

2007年中国国家队平面几何培训中的第5题为：.

复旦附中 马浩君同学给出了上述第5题的一种绝妙的证明（由于未赶上时间，来不及收入到《走向IMO》一书中去了）。
证法如下：

自E、I、J、F作直线CD的垂线，垂足分别为E′、I′、J′、F′。设直线EF、CD的夹角为θ。
则E′I′＝EI cosθ，F′J′＝FJ cosθ。
由四点共圆易知∠AE′C＝∠MI′J′＝∠MJ′I′＝∠BF′L＝45°，
因此AE′∥MI′，MJ′∥BF′。
记∠AMI′＝α，∠BMJ′＝β。（注意：α＋β＝90°）
分别在梯形MAE′I′和MBF′J′中应用正弦定理，得
E′I′∶AM ＝ sinα∶sin45°，
F′J′∶BM ＝ sinβ∶sin45°，
∴  E′I′^2＋F′J′^2 ＝ 2AM^2（sin^2 α＋sin^2 β）＝ 2AM^2，
即        EI^2＋FJ^2＝ 2AM^2/ cos^2 θ。  
同理可得 CK^2＋DL^2＝ 2AM^2/ cos^2 θ。
∴  EI^2＋FJ^2＝CK^2＋DL^2。命题得证。.

嗯，这个证明马浩君暑假里面对我说过一次。的确很精彩。.

小时候很喜欢几何的，看见这个帖子真高兴，其实已经根本不会做了，down了给儿子，不知道兴趣会不会遗传.

在“东方论坛”上读了老殿的一篇“现身说法”式的剖白，真是心生感慨！（http://forum.cnool.net/topic_sho ... 494&flag=topic1）

这两天，几件事情凑到了一块儿：刚约请老殿介绍Kimberling的特殊点大全式的网站，就收到友人的邮件，要我核查一个三点共线的性质；又在网上看到了一些奇奇怪怪的文章。

一方面，惊叹于老外做事的细致周到。

通过一个特定边长的三角形（边长为6、9、13），把三千多个特殊点逐一排序，其规范三线性坐标竞无一重复，让人立即便能核实所得的某个特殊点是否已包含其中。真是想绝了！

Kimberling先生这样做，图个什么？
还不是替人着想，避免重复性劳动。



另一方面，我又为国内杂志草率发布“最新成果”而感到汗颜。

网上一搜，“一条新发现的定理”、“又一个三点共线的性质”、“界心定理再推广”之类层出不穷，让人眼花缭乱。

但细细一辨，问题来了。所说的“界心”，其实不就是众所熟知的Nagel点！提到的新发现，也就是梁绍鸿《初等数学复习及研究（平面几何）》一书中的几条习题（习题十五第24题，总复习题第44～46题）。
这样的教研和学术的氛围，热闹固然热闹，究竟让人是喜是忧？
真有让人说不出的味道。

记起了单教授十年前所写的一篇书评（《数学通讯》1997年第4期）。文中指出：

“作者自豪地说：‘八十年代……我们在三角形研究领域冲到了前沿’。但如果冷静、客观地检查一下就会发现，‘许多重大成果’其实都是重复了过去已有的研究。”

例如，当书中提到艾-莫不等式的推广，“直到1986年，中国科学技术大学单墫才一举证明它对n≥3成立”时，单教授毅然推辞了这一并不实际的“荣誉”，指出国外60年代已经有人解决。并说：

“当时在证明艾-莫不等式推广时，我并不知道已有人在60年代做过，这样的经验不少同志都有。其原因是长期闭关自守，很难接触国外的文献。”

“当然，独立的发现在数学史上是很常见的，对于科学的普及总是有益的。但我们必须尊重事实。”



愈加感觉到，其实文化传播是很细致入微的事，并不像人们通常以为的，只要写些通俗文章就可以了。

我们需要窃取火种，弘扬文化精神；我们需要站在数学文化的高度，为师生们提供更多合适的精神养料，借此提高全民的科学素养。

什么是文化？文化其实就是在前人基础上，把事件越做越圆满的一种高的追求；
文化更应该理解为一种态度，凡事应该追根究根，不达目的不罢休的那种执着！有了这种执着，一个国家或民族的素质得以全面提升就可无疑了。

华老、张院士、单教授，这样的大师风范，尚且勇于否定过去。这岂不正是求真务实态度最好的注释！

固然，初等数学并不总以创新发现为主要目的，传播数学思想和数学文化乃是其更主要的特征。

创新固不能勉强,但这并不意味低级重复可以大行其道，求真务实的态度是不当轻易抛却的。

网上看到这样一则报道：

鄂州教师找到三角形“等和点”
荣获全国青年初等数学研究奖
本月中旬召开的全国初等数学研究学术交流会上，鄂州市二中教师，37岁的黄华松凭借一篇《“等和点”初探》的论文，荣获第二届全国青年初等数学研究奖。
100多年前，人们在研究物理学中点电荷的平衡时，发现了三角形的等力点（也叫等积点），该点到三角形的各个顶点与相应顶点所对边边长之积相等。2003年的一天，黄华松突发奇想：如果将上述定义中的“之积”该成“之和”，那么这个点在三角形中是否存在？经过两年的努力求证，2005年暑假的一天深夜，他终于找到了这个点，并探索出了该点的9条优美特质。
专家对黄华松“等和点”给予了很高评价。著名数学家杨世民教授激动地说：“这是第一个由中国人定义的三角形的特殊点，是我国初数研究领域的一个突破！”
据了解，三角形还有其他的特殊点，如“布洛卡点”，“费马点”，“密克点”等，都由外国人发现并命名。（来自楚天都市报2006.8.20）
交流会上，黄华松读完《“等和点”初探》一文，当即获得了来自全国各地的专家们一致认同。大家认为，“等和点”的找出，确实是我国初数研究领域的一项突破性进展。《中学数学研究》杂志社还当场约稿，准备将这篇有8000多字符的论文分两期推出。

那么被专家们一致认同的新发现究竟是怎么回事呢？翻开单墫《平面几何小花》（上海教育出版社2002年）第66节“孙斌勇同学的问题”中记录了某年，当时在理科试验班读书的一位同学提出的问题：“P，Q在△ABC中，并且PA＋BC＝PB＋CA＝PC＋AB，QA－BC＝QB－CA＝QC－AB。求证：P，Q与内心I共线。”
这一问题中的两个点之一，其实就是上文提到的所谓“等和点”。
《小花》同一节中还介绍了：在国外，Q，P两点分别被称作内、外索迪点。索迪（Rrederick Soddy，1877-1956）是英国化学家，因发现同位素而获得1921年诺贝尔化学奖（与爱因斯坦同一年获奖）。.

深入的研究表明，不但内心I落在P，Q联线上，而且△ABC的Gergonne点也位于这条直线上，且这四点恰好构成调和点列。

   关于P，Q两点还有不少进一步的研究结果。上世纪60～90年代，有多篇文献涉及其性质的讨论。例如P点具有如下奇妙的特性：过P点的三条Ceva线刚好可把△ABC分割成三个圆外切四边形；而其他所有点都不具备这一性质。.

无视上世纪60～90年代这些众多成果，对那些诸多研究者是否属于尊重？
如果这样的“新成果”流传到了国外，那些作者看到后又会作何感想呢？
这样一想，我们也就更会为自己的行事保留一份慎重了。

一些杂志在发稿前最好请专家把一下关，慎用一些草率的辞汇。而作者在发表前，也最好能核查一些基本的工具书。例如在发表几何新成果之前，不能忘记去核实一下梁绍鸿先生《初等数学复习及研究（平面几何）》，这书以前是高校院校的教学参考用书，图书馆中并不难找；《近代欧氏几何学》这类的经典，也该成为手头的常备。

如果有人以初等数学不需要原创性为借口，这固有其不同的出发点和不同的视角，不能谓其没有理由；但作为杂志的审稿层，始终抱有这样的观念，在客观效果上，也就相当于是为学术浮躁的风气大开其绿灯，而把严谨的数学视同儿戏了。

更有甚者，请看：

鞍山岫岩教师侯明辉发现数学新定理
鞍山日报消息 （金生辉 记者 宋桂昌） 教师节前夕，从岫岩教师进修学校传来喜讯，去年本报曾报道的数学教师侯明辉公布了自己发现的数学新定理——“三角形二外角定理”。这是他继“三弦定理”、“四边形外角定理”、“三弦共点定理”之后，发现的第四个数学定理。
去年教师节期间，侯明辉发现“三弦共点定理”的消息在本报发表后，引起市委、市政府的高度重视。为了表彰侯明辉的成绩，岫岩县政府授予侯明辉“科技文明奖”，并做出向侯明辉学习的决定。去年10月，他从龙潭中学被调入县教师进修学校工作，这极大地鼓舞了侯明辉苦心钻研，继续探索。
在多年的初中数学教学中，侯明辉感到一些三角形难题的论证过程十分繁琐，做起来费工费力费时，他决定探索一条捷径，简化论证程序。为了早日钻研出定论，侯明辉整天埋头在科研工作中，日以继夜，废寝忘食。他做了大量的三角形难题，注意从中寻求带有规律性的问题。研究中，他做过的难题数不胜数，扔掉的废纸更是无以计数。
一次，他在用多种方法论证一道奥林匹克数学题时，隐约感到三角形两个外角与它们不相邻的内角之间存在着一种规律性关系，这种规律很可能成为一种定理。于是，他进一步研究并多次应用于解题实践。经过反复论证，侯明辉认定，这是一个定理，并把这一定理命名为“三角形二外角定理”。即：“三角形两个外角之和等于和它们不相邻的内角与一个平角的和。”用这一定理做题，简捷、明快，大大简化了一些三角形难题的计算、论证程序。
侯明辉把这一定理写成论文，在河南省《中学生学习报》发表后，受到有关专家的充分肯定。今年4月，侯明辉还被省教育厅推荐为全国苏步青数学奖候选人。（NEWS.SOHU.COM　　2003年09月10日09:12　千华网－鞍山日报）
侯明辉发现数学三割线定理
鞍山日报消息（吴庚秀 实习生崔宇 记者朱玉龙）16日，岫岩著名教师侯明辉收到了世界科学教育出版社和中国国际教育学会共同主办的2005年第二卷《中国育人》杂志。该杂志全文刊登了侯明辉的最新数学论文《三割线定理的证明及应用》。新论文在这本权威杂志上的发表标志着侯明辉新发现的“三割线定理”已经被认可。
该杂志的评价是：“由以上几例可知，应用三割线定理解证数学难题确实有独到之处，它可以使问题化繁为简、化难为易，从而收到事半功倍的效果，因此三割线定理值得重视。”近期出刊的由天津师范大学、天津市数学学会、中国数学会普及工作委员会创办的《中国数学》杂志，则将侯明辉的数学“三割线定理”纳入“数学奥林匹克命题”加以阐释。与此同时，连日来侯明辉本人收到国内各大专院校及数学教研机构发来的贺信达千余封，纷纷称赞他发现的“三割线定理”是数学界的一件喜事。
42岁的侯明辉几年来因相继发现了“三弦定理”、“三弦共点定理”、“四边形外角定理”、“三角形二外角定理”等众多数学新定理而在国内数学界引起一连串的震动。几年来他先后发表学术论文200多篇，先后在上海师范大学《上海中等数学》、河南教育出版社《中等数理化》等学术杂志发表。
取得了众多成绩与荣誉的侯明辉并没有就此满足，为了探索一条更为巧妙简捷的求解数学难题的新途径，自去年7月初起他潜心攻坚，“三割线定理”是他受“三弦定理”的启发研究出来的。“三弦定理”是“过圆上一点引该圆任意三条弦，则中间弦与最大角正弦积等于其余两弦和它们不相邻角正弦积之和。”而这三条弦局限在圆内，侯明辉就想到如果将这三条弦延伸到圆外变成三条割线会是什么效果？经过半年多的不懈努力，侯明辉终于论证出“三割线定理”。
侯明辉说，“三割线定理”特别复杂，论证过程十分艰难，而且主要用公式和图形去论证，所以很难用文字对这个定理进行描述。但论证出来后，这个定理在平面几何中圆类问题的计算和论证方面有着广泛的应用。依靠这个定理解题的步骤可以节省2／3甚至更多。
“三弦定理”之父成为“国务院特殊津贴专家”
千山晚报消息 （陈宏宇 记者朱玉龙） 21日，记者从岫岩人事局获悉，曾先后发现了著名的“三弦定理”、“三割线定理”等多项新成果的岫岩教师进修学校教师侯明辉喜获国务院特殊津贴专家称号，是岫岩获得国务院特殊津贴专家称号第一人。
侯明辉虽然是一个中学的数学教师，但他的研究成果却早已引起国内外数学界的关注，从1985年至今，他先后发现了“三弦定理”、“三弦共点定理”、“四边形外角定理”、“三角形两外角定理”、“三割线定理”等。他最早发现也是最著名的“三弦定理”，得到了国内众多知名专家的肯定和赞誉，该定理填补了国内数学领域的空白，是一项重要的科研成果。表述这个定理的论文还荣获世界学术贡献奖论文金奖，被收入《世界学术文库》，侯明辉本人也获得世界文化名人成就奖。
岫岩教师侯明辉发现数学新定理zz - 未名空间(mitbbs.com)
侯明辉同志的 “三角形二外角定理”意义重大, 总所周知,欧是几何的第五平行公理至今未或证明。 而利用侯明辉同志的 “三角形二外角定理”及其他四个欧是几何公理, 可以推导出平面几何所有一知其他定理。 建议授予侯明辉同志国家科学进步……

侯明辉三弦定理-东陆论坛.

侯明辉三弦定理的发现离托勒密的时代已经2000多年了，所以，人类在某个问题上，哪怕是仅仅前进了一步，也是很不容易的。
侯明辉先生的三弦定理与古稀老翁张光禄先生发现的三割线定理都是潜心钻研的结果，是的，一些大虾们动不动就说“两三句话就能证明”。luyunhong先生给出的三割线定理证明很精彩，但不是“两三句话就能证明”的。
李明波大虾是在2001年与侯明辉的通话中，得知他三弦定理的内容的。当时感触很深：在被人研究了几千年的平面几何领域，竟然还能发现新颖的定理？！
侯明辉在很大的程度上改变了李明波对几何的看法，使李明波在研究工程、数论的同时，把研究几何也当成了大事，并得出了许多成果，尽管李明波在1990年就曾发表过几何论文。
现在已经问世了“三圆定理”，见—— 李明波三圆定理。
其实，李明波大虾还有三中线定理：
三角形三条中线的平方和，等于三条边平方和的3/4。
参 考 文 献
李明波与四边形 之一
侯明辉现在比较忙

有些人天生就是搞研究的，侯明辉就是。在岫岩龙潭中学当教师的他发现三弦定理等成果后，2002年10月8日，被调到岫岩教师进修学校，专门搞研究。
虽然不直接接触教学，但他总想着自己的研究成果能够对学生们的学习有更大的帮助。在进修学校的5年里，他写出了300多篇学术论文。去年，他写的一篇名为《关于二次函数的总结性文章》的辅导性论文发表在了一家全国发行的数学刊物上。
夜晚是侯明辉最好的研究时间。去年春天的一个晚上，侯明辉白天在看完世界名题——蝴蝶定理后，躺在床上睡不着，十点半钟的时候，朦胧中他脑袋里的那只蝴蝶好像飞了起来，他马上从床上爬起来开始研究，不知道过了多久，他终于发现：“圆内5条线相交成蝴蝶形，其中4条弦上的4条线段存在比例关系”，他将这个定理命名为“蝴蝶比例定理”。 （记者 朱玉龙 杨东 摄影报道）.

有网民评论得好：“如果这位真的凭这种‘定理’拿了全国苏步青数学奖的话，我建议这个奖就没有必要再办下去了；而苏老泉下有知，也必自叹弗如，惭愧得紧。”呵呵

还是老殿说得生动：看过这样的报道，唯一的愿望就是：“真希望别给老外看到……”

笑过之后，我们也就会觉得问题的严肃之处了。

看来数学文化之路，真是任重而道远啊！

无视前人业已取得的所有成果，甘做井蛙，采取“不闻不问”“我不怕谁”的阿Q式姿态，那就只能说我国目前的文化气氛还太落后了些。

先了解别人的工作，再做自己的研究，就可以避免不少的尴尬。

固然国内资料条件比较缺乏，但这不能作为借口；而只能把填补缺口当作己任，发扬愚公式的精神。
文化靠的是传承，学术靠的是执着。

我们所需要做的事情还太多太多。大处着眼，还须从小处入手。

一些细致入微的事情总必须有人来做。

病中的单教授，居然还花费数年之力，从大量外文资料中筛选出近百篇文献，翻译成了《三角形的几何学》一稿（待出版）。一些出版社，竟只顾眼前的效益，阻碍这种学术图书的推出。

其实，在我看来，读者是真正有眼光的，那些更多带有文化特征、真具价值的书籍最终才真拥有生命力，能长久地流传下去，也更能为出版社带来真正的效益！

《近代欧氏几何学》的作者R·A·Johnson(1890—1954)并非属于知名数学家，只是《美国数学月刊》问题栏的编辑。不过，他不赶时髦（当时已有人提了“打倒欧几里得”），甘坐冷板凳，及时梳理了19世纪后半叶所兴起的这门有趣学问，总结了当时业已取得的众多成果，融入了作者个人的心得（如“有向角”之类），整理成蔚为大观的一份综述文献，为后来的学习者和研究者提供了极大方便；即使是普通爱好者，也能借此一窥数学文化所具之魅力。连M·克莱因在《古今数学思想》（第四卷）中也曾指出：“这些成果，或许重要性不大，然而显示出这门古老学科的新的主题和几乎无穷无尽的丰富多彩。”

这样的事情虽说琐碎，但只要切实运作起来，还是具有可操作性。文化就是靠逐渐累积而长期所形成的。

在国外，科普大师马丁·加德纳在大众科学杂志《科学美国人》（Scientific American）月刊上主持了一个“数学游戏”专栏，从上个世纪50年代至80年代，在长达二十多年的时间里，对现代数学的一些最新成果作了通俗介绍，在改善数学的可接受性方面迈出了巨大的步伐。在广大公众中，有能力理解并欣赏数学美的人极难真正有机会满足他们的愿望，而由于马丁·加德纳的忘我工作与生花妙笔，已经把一门历来人们认为枯燥乏味的学科，变成了生动活泼有血有肉的“艺术”，吸引了大批青少年投身于数学之门，从而实质上起到了“招兵买马”的作用，为数学立下了汗马功劳。他同读者之间的广泛通信联系使他远不仅是个报道者或普及工作者，而成了一位名副其实的“数学园丁”。

而《数学信使》（Mathematical Intelligencer）更是一本从文化的角度来传播数学的高档次的季刊，其内容包括了不同的种类：有的深入浅出介绍当代数学的重大成就与应用；有的循循善诱启迪数学思维与发现技巧；有的富于哲理阐释数学与自然或其它科学的联系；……试图为人们提供全新的观察视角，以窥探现代数学的发展概貌，领略数学文化的丰富多彩。

除了上述两类数学传播杂志之外，还曾有过专门的《数学娱乐月刊》（Journal of Recreational Mathematics）及《数学娱乐杂志》（Recreational Mathematics Magazine），在更为广泛的层面上为数学爱好者提供了娱乐园地，在智力游戏及智力玩具等诸多领域，即使是业余爱好者，也有机会发挥他们一技之所长；《数学教师》（Mathematical Teacher）杂志上也经常有大量通俗数学、娱乐数学的题材。而在深层次探讨数学问题、发掘数学背景方面，则有《Scripta Mathematica》，《American Mathematical Monthly》，《Mathematics Magazine》，《Mathematical Gazette》，《Eureka》，《Crux》等众多阵地，并相应形成了一支多层次的数学文化梯队。

其实在我们国内，也曾有过一些优秀的数学栏目，例如中科院的《数学译林》，在高层次数学普及方面立下了首功；《科学画报》上的“动脑筋”、《自然杂志》上的“数林撷英”、《科学》上的“奥林匹克角”、《数学通讯》上的“问题征解”也都给人留下了深刻的印象。

由台湾科学院数学所主办的《数学传播》，更是保持了二十年良好的传统，成为一份高雅的数学大餐。

这样类似的工作，还需要更多地被传承下去。

我们期待有更多的热心人来关心、支持，并投身到这类富有意义的事业中去。

只有这样，陈省身大师身前的嘱托：“开创新世纪的数学文化”才变得更加切实而有指望！.

第8届华杯赛小学组决赛第二试:“四边形ABCD，∠A=∠C=45度，AB=CD=15厘米，∠ABC=105度，求ABCD面积。”

这题有一种采取拼接的不错做法：

把△BCD剪下来，然后翻一下，拼在△EAB的位置，四边形ABCD的面积就转化为四边形AEBD的面积；

这时AB成了直角DAE的平分线，作BM⊥AD，BN⊥AE，由角平分线定理得BM＝BN；又全等三角形对应边相等，得BD＝BE。因此由斜边-直角边定理，得Rt△BMD≌Rt△BNE。

最后，把Rt△BNE剪下来，拼在Rt△BMD的位置，这样整个四边形面积就转化为对角线长为15的正方形面积。

答案是：112.5。.

解法“初等”，精彩！.

“国务院特殊津贴专家”是真的吗?
"获世界学术贡献奖论文金奖，被收入《世界学术文库》，侯明辉本人也获得世界文化名人成就奖。"这是个什么奖呀?地区奖?.

引用:

原帖由 shuaishuaimm 于 2007-11-2 10:48 发表
“国务院特殊津贴专家”是真的吗?
"获世界学术贡献奖论文金奖，被收入《世界学术文库》，侯明辉本人也获得世界文化名人成就奖。"这是个什么奖呀?地区奖?

“假作真来真亦假，无为有时有还无。” 呵呵.

这，是，小学的几何？我强调“小学”2个字。.

引用:

原帖由 EmmaMum 于 2007-11-2 12:15 发表
这，是，小学的几何？我强调“小学”2个字。

呵呵，这个标题可不是我取的：

http://forum.cnool.net/topic_sho ... 494&flag=topic1.

啥叫强人哦,强人啥时候都有..

呵呵,现在小学题目也真难啊.

呵呵，这就是中国的奥数，看来确实成了“杂技”。.

有人问，在几何中哪些课题才有价值呢？

来谈一些自己的看法。我认为数学中尤其平面几何中处处有胜景，只要善于捕捉。

其实探索数学相当于去解读上帝的乐谱——它是由奇妙的和谐音符所谱成的。欣赏它的前提是真正地靠近它，即把握住问题的实质。

好的问题往往能导致好的结局。有时，一个新奇的念头便会把人带入意料之外的胜境，给我们带来意想不到的果实。

而我认为好的问题其实是无处不在的；用朴素的眼光更容易捕获到它。

我觉得斯坦纳（Jakob Steiner，1796～1863）就是一位境界颇高的几何专家，他善于解读问题，善于从关键处把握问题。.

例如，Simson线，一般人们只是单独地将它作为一条线，他却棋高一着，改从总体上看待，得到：Simson线整个的包络形成一条三尖形的曲线，它的“内切圆”（最大内含圆）恰是△ABC的九点圆，而其“外接圆”（过三个尖点的圆）大小刚好是九点圆的三倍——它相当于一个与九点圆相等的动圆在三倍于它的大圆内部滚动所形成的“三叶内摆线”，因此这是一条均匀的曲线，其三个尖点构成正三角形。.

不过这三尖点却是不可能用尺规作出的，因为这将导致三等分任意角。

随着这条曲线的揭示，“平面上任意点共有几条Simson线经过？”这个问题就同时解决了：
（1）当一点位于曲线内部时，Simson线共有三条；
（2）当一点位于曲线边界上时，Simson线恰有两条；
（3）当一点位于曲线外部时，Simson线仅有一条。

我想Steiner最初可能是这样想的：究竟怎样的直线才有资格作为Simson线？并不是所有的，而是其中特定的一些直线。那么究竟是哪些呢……

一个朴素的逆问题就导致了对Simson线整体的把握，这便是思考问题的制高点！

Steiner也许还会接着这样想：既然Simson线跳了一出精彩的“舞蹈”，那么外接圆上任意点P关于△ABC三边的对称点所共的直线（按理：它是Simson线关于P点所作的一次1∶2的位似）情形又该怎样呢？

不试不知道，一试就又有所发现：

这些线居然形成一个“线束”！

线束的中心是什么？原来就是△ABC的垂心！.

这样一条有意思的定理就诞生了：

“斯坦纳定理：三角形的外接圆上任一点关于三边的对称点共线，这线通过三角形的垂心。”
（证明见于:
http://forum.cnool.net/topic_sho ... 494&flag=topic1）

说穿了，倘若把这一切还原到历史的真实，那就会显得十分的自然。天才并非总是来自天上，他往往靠的是一双朴素的眼睛和追溯问题本质的那一种勤劳。

在我看来，做一个善于捕捉问题的人并不难：只需要具备两种素质：

一是“嗅觉灵”，从纷乱的现象中看出关键，须有快刀斩乱麻的利索。要简化问题，而不是反其道行之。有些人提的问题过于笼统，有的却又钻到牛角尖里了，这都不是正道。现在的有些数学竞赛题也存在偏离问题根本的迹象。也许是命题人想把题编得更曲折些，总不愿意把话说直白，有时又故意凑上一些附加的要求，以增加“难度”，但这离开问题的本质也就更远了。

二是“心念杂”，所谓“心比比干多一窍”，即要有比较开阔的思路。其实只要像鲁迅说的那样，乐于做个“好事之徒”，后一点倒并不难做到。

2002年８月我在几何画板中利用“垂极线”办法作出了Steiner三叶摆线的轨迹形式（而不是包络形式）。

[ 本帖最后由 老封 于 2007-11-7 09:50 编辑 ].

当时还产生了一个有趣的想法：

外接圆上什么样的点P，所对应的Simson线恰经过Steiner三叶摆线的那三个尖点？

由于Simson线的旋转均匀地依赖于操纵点P，因此可以想象，外接圆上所对应的三个点P1、P2、P3应构成正三角形。

经过具体的计算，结果出乎意料地证明了一件极有意思的事：

“这个对应于尖点的正三角形P1P2P3其三边必对应地平行于Morley三角形——由△ABC内角的三等分线所交成的正三角形！”.

这几天，我又重操旧绪，使相关的旅程得以延续。Steiner图形看来也真算是一个丰富的矿藏啊

情况是这样的：这两天又得到了一个新念头——当Simson线由“垂线足”共线改为“斜线足”共线（此乃所谓Carnot定理；以下我们把这条所共直线称作Carnot线），而且倾斜角固定不变的话，那它将包络出什么图形？.

另外，如果进一步以P点为位似中心，将Carnot线缩放一个确定的比例，所得直线的包络又是什么呢？尤其是，能不能通过适当调整比例系数，使得包络退化成线束？这时所共点不会再是垂心了吧……

如果最后这个设想能够成功，那就相当于在很大程度上推广了Steiner定理。真是一个很诱惑人的想法！

赶紧行动起来……。结果既让人满意，又略微有些失望。

几何画板显示：原来一切这样的包络竟全都一律是三叶内摆线！形状没有变化，只有大小和位置的变化。
（注：图中虚线是Simson线，细线是Carnot线，粗线是Carnot线经过缩放后所得；而图中所显示的正是粗线的包络。
图的右上方控件是控制倾斜角的，右下方控件用来控制比例系数。）.

但是，想通过调整比例系数的办法以使得包络退化成线束是行不通的！除非是Simson线，而且放大比例只能刚好为1∶2。

这就表明，像原先那样优美简洁的Steiner定理是不能加以推广的。

接下去我又找到事干了：

刻划这变化后的三叶摆线之位置！

功夫不负有心人。经过一番努力，前一半的任务完成了：

在尚未实施缩放前，我搞清楚了这条三叶内摆线的大致结构——随着倾斜角的不断变化，其中心沿着一条经过九点圆心的直线运动，方向垂直于Euler线。而且该三叶摆线的“内切圆”大小是可以刻划的——它相当于九点圆绕着外心O，按照Rt△XUV（图中控件）的形状，作一次相似变换而得。
（如果不借助这一发现，该三叶摆线的“内切圆”是很难在几何画板中作出的。）.

由此，还能得到：当倾斜角调整为90°（即Simson线时），三叶摆线才变得最小。

新问题又出现了：

“内切圆”遵循的是上述相似变换，不算复杂；不过三叶摆线并不是按照同一游戏规则简单地在旋转——它除了“公转”，还有“自转”，其变化规律复杂着呢！尤其是，Carnot线相对于那个圆的位置并不等同于Simson线对于九点圆的位置——当Carnot线达到尖点时，Simson线并未达到——两者有时间差！

艰辛的探索又开始了：

结果发现，当P点绕着外心O旋转过倾斜角之余角的三分之四倍（多么夸张的一个倍数！）时，所对应的Carnot线和Simson线的地位就保持一致了。.

让我说得更具体一些吧，给爱好做难题的朋友们一次思考的机会。

现已将其简化为如下的形式：
“如下图，设O和N分别是△ABC的外心和九点圆心。Rt△ONN′中，∠N′ON＝θ。
又P、Q是△ABC外接圆上两点，弧PQ的度数为4θ/ 3。过P作左右两边的垂线PE、PF；过Q作这两边的斜线PE′、PF′，倾斜角∠QE′C＝∠QF′B＝90°－θ。
求证：N到直线EF的距离与N′到直线E′F′的距离之比等于cosθ。”.

不过说实在，倘若不叙述清上述背景，大概不会有人相信这是一个有意思的好题目。原因是我还没有把它化简到更为优美的地步。

至少有一点我是相信的，这题不至于太平凡，因为它有这么多的背景在支撑。难度往往与深度是成正比的。

更艰辛的事还在后面：

当Carnot线按比例缩放后，所得三叶摆线更难刻划。目前仅获得如下现象：当倾斜角固定不变而让比例系数改变时，对应的三叶摆线大小在某一时刻会取得极小（但一般不至于退化，除非Simson线时），这时的比例系数与倾斜角当有内在联系！例如当取Simson线时，倾斜角为直角，这时比例系数就须取1∶2，对应于Steiner定理。
其它情况下还找不到线索，连那个“内切圆”也无法画；因此亦不知当比例系数连续变化时，三叶摆线的中心轨迹是什么？

已深夜了，愉快而艰辛的旅程可暂告一个段落了！

最后补充说一点。最好不要用功利的态度对待这种所谓的“临时发现”。小花小草很难说有什么惊天动地的意义，应该怀着平和的心态。

数学本就是上帝之杰作，作为人类我们只有欣赏它的份。

故而，更应当把这样的过程看待为一次私下而又奇妙的旅行，带来了快乐就行！当然，与朋友们分享一下也未尝不可。呵呵

还是以陈省身大师的格言结束这篇帖子吧：

数学好玩！.

大师.

这是我儿子今年期中考试的作文，带回家给我签字，趁机将其录了下来：

寻梦——初二（4）班 19号

梦想，每个人都有，我当然也不例外。在小时候，我并不知道自己的梦想是什么。只是过一天算一天。但是，在一节评卷课上，我知道了自己的梦想。
那是五年级时的一次语文考试，作文是“我的梦”，我就是写了我在某年某日做的梦。结果只得了个十分差的分。老师在讲评的过程中说：“好好想一想自己的梦想是什么？你最喜欢的是什么？你以后想当什么？把它们合起来，那就是你的梦想。”我闭上眼开始思考，我的脑中出现了一幕幕的画面，像放电影一样：我看见了爸爸在送我去幼儿园的路上教我数“树”，教我看车牌号做二十四点；我看见了我因专心做数学而误把钱当成了草稿纸；我还看见了自己向奶奶说自己长大以后要当一个数学家……啊，我的梦想是数学，我为什么已经把它给忘了呢？是什么把我的头脑给冲晕了呢？我不知道，但是我想知道，然后，我一定要克服它。从那次考试以后，我更加努力的抓我的数学，虽然我的数学成绩已经在班中名列前茅。我让爸爸教我更加高深的数学，虽然那些在我知识范围外的解法十分的枯燥，但是我还是把它们收入腹中。我为成为一个数学家而努力着。进初中以来，我的数学成绩略有下降，可是我不会因为这一点点的挫折而放弃。现在，学习数学对我来说已经是一种享受，我享受着学习数学的快乐。虽然我现在并没有像爸爸一样钻在数学之中，可是我会努力，努力，再努力。
小时候，我为寻找梦想而努力；现在，我为完成梦想而努力；相信在不远的未来，我的梦想就可以实现！

说实在，这篇文章作得并不够好，不够丰满，还有点程式化。比我以前可还是差了一些~~

找出了一篇我同龄时（也是初二！）所写的，不妨两相比较一下：

八十年代最可爱的人

在“四害”横行的日子里，极左思想认为交白卷的，无文化的，反潮流的流氓、社会渣滓是时代的英雄。然而邪理终究会被真理所替代，当人们进入以实现四化为目标的八十年代时，总会想起为培养后代而时刻辛劳着的园丁——我们的教师，他们象伯乐一样，为国家选拔，培养人材，可谓是八十年代最可爱的人。
在我的脑子里，没有再比我们的班主任翁老师更可“爱”的人了，他为了我们呕心沥血，把他的知识毫无保留地传授给我们。
翁老师由于患了不育症，至今还无子女，因此对我们格外爱护、喜欢，在发脾气时，至多也只打我们的头，拎几下耳朵，叫我们罚抄几百遍书罢了，因此我们都十分热爱他，尊敬他，亲昵地叫着他的名字“翁××”，偶尔才在其后加上“坏”字，这也实在难免，人总有短处嘛。
他患了讨厌的高血压症，时而会晕过去，但他毫不在乎，与疾病作着顽强的斗争，一次终因病情恶化才不得不去休息去了。
他十分虚心，开口闭口总讲他太主观，不愿听别人意见，这确是事实，但他的虚心作风也值得发扬，但最好加以实践。他吸烟的本领极大，人们多次对他说过戒烟的事，他从不回避，笑着向大家解释：年纪大了，不容易改，加上他不怕死，即使患了肺癌也不要紧。但他欠考虑了一点，就是污染了别人。
他不仅是生活的模范，也是体育的模范，他家住在延安西路的瑞金电影院斜对面，每天总是踏自行车上班，有时从上面摔下来，但为了锻炼至今也如此。他中午叼几只馒头就匆匆去下棋，上课铃响了，也不发觉（也许不理它），继续下棋。
他是有着极强的自尊性，虽然也听别人的意见，但终不爱听坏话。对于人来说，自尊心十分重要，他就是依靠它才维持了他的声望，不致于跌下来。
对于如此一个可爱者，人们终想了解他的历史，我就以我所知的一点资料作为结尾吧：他生于一九四○年，曾在上海第四机床厂做文攻武卫，由于欺人太甚才调来我校，他那美丽的妻子现在某所中（小）学当语文教师。

附记：校长的垂爱
每一位做校长先生的，总是对他的学生格外地关怀，这点，我是近来才渐渐深刻地体味出其滋味来的。
事情是这样的，那次我犯了一个可怕的错误，写了一篇题为《八十年代最可爱的人》的作文，为此不知停了多少堂课，挨了多少顿训，写了多少份检查，掉了多少点泪珠（当然也夹杂了不少故意装上去的水珠），这深重大孽而今思来犹教我心寒。本来，这也是老师让我们作的孽，课堂上作文题目一下来，便咬着枝笔，苦苦冥思，轰作一团的脑子于是炸开了，尽管绞尽脑汁，也比较不出个“最可爱”的名堂来，忽然间灵机一动，遂妙笔生花了。等到作文一上交，便痛悔莫及，只好乖乖地等候着上帝的吩咐了。事隔两天，形势果然便开始不妙了，课堂上冲入了怒气冲冲的班主任来，一把抓起我头上的发毛，便揪了出去，接着便是众所周知的可耻下场……当然这有关到挽回班主任的声望，我哪怕鼻尖朝下，挨点苦头，也总归是情愿的啰。
但校长的态度无疑却缓和得多。经过家长不泄的争取和我本人不泄的悔改，原先态度坚决的终于也改变了面孔。而今知道我终于已无须开除了。阿弥陀佛，阿门，保佑。于是校长温和地把我“请入”办公室去，亲切地会谈起来。校长整了整喉，放慢声音，露出微笑，而后轻声地问道：“你那篇作文可不算是好东西喔噢，呵，呵，…这且不必去说了，不过，我倒想问一问了，你…怎么会知道‘不育症’这个词的？不是么，你就是这样写的。你知道它究竟是怎样回事嘛？嗯，唔。是听大人说的么？还是别的怎么地？你…莫非暗自翻看过医学书了。你究竟看过些什么书了？啊哈，小朋友，这你能不能悄悄地告诉我呀？”
天哪，这分明是在诱发我漏出马脚来呀。见鬼，不育症，这玩意我早已记不得是猴年马月就听说过了的，固然，医学书也是偷看过几本的，可不育症也不至于到这时候才学到的。我暗笑着，我想你心里的东西我都了如指掌，还稀罕你“不育症”这个词汇么，不过，其中的苦心我是颇能领悟些的，当然，我也不致于会愚蠢得说出实话吧，于是，我便巧妙地推脱道：这是从生理卫生课上知道的。于是校长点着头，才满意地问到下一个问题去了。

呵呵，这只是一篇游戏之作，一直保留到现在，一转眼二十多年过去了。

不过当时也事出有因：那年我们班级集体春游，一位叶姓同学将脏水灌入水壶给人喝，因为名字比较接近，这位糊涂班主任却把这件事写到我的期末评语中了，令我枉受过，事后也没敢道歉一声，只是装糊涂了之。作文上交后，据说在老师间还广为传阅，我也因此“名闻遐迩”。这件事当时还有闹大的趋势，校长、书记真的都找我谈话了……记不清为此写过几份检讨。

据说这老师当时真的气坏了，不过事后还是挺喜欢我们这帮调皮鬼。
尤其是前年，分别廿余年后，由几位同学召集，在国际饭店搞了一次师生的大团聚。席间，他笑呵呵地指着我们两个叶姓说：“两叶最调皮了，不过老师都还蛮欢喜。”且说所有人中最不让人忘记的就是我们两人。
老人家现在非常好客，那天已过八点了，还提议所有人弄辆车子到他浦东家里去玩。不过他的家实在太远了，在外高桥那儿，结果没有人跟着去。

其实,话又说回来，虽说当时调皮，其实我们还是相当懂得尊师之道的，对师长们总是保持一段距离，又可谓是敬而远之了~~。

现在自己也算是个业余老师了,对于调皮捣蛋的小孩子心里还是有些偏爱的。并不希望他们一脸严肃地来“尊重”我，呵呵。大家像朋友似地讨论些问题，这是最好的气氛了。

我觉得现在的儿童教育有些成问题：所谓“尊师爱教”的素质教育让孩子的自主性越来越少，过于听老师的话，丝毫也不许他们存有反抗；像小猫猫似的，真的太可怜。我们那时读书的时候还很自在的，同学间、师生间的友谊都很纯粹（尽管男女间不太说话），有时总想着和老师作对，但总也没做出对不起老师的坏事来——其实，现在想想，那也是尊敬老师的一种方式嘛。你想：老是鞠躬、说赞美话，会觉得好受么？.

老封小时候的作文,太可爱了.
佩服佩服.
比数学更令我佩服..

,20年前的作文啊，保存的真好。

[ 本帖最后由 dudu19668 于 2007-11-17 11:07 编辑 ].

错。是27年前的作文了！.

老封不老啊，刚刚不惑.