还有一个类似的题，如见于《初中几何妙题巧解》（上海科技教育出版社1989年10月版，蒋声编）第50页：
“在正三角形ABC的边BC上任取一点D，作∠ADE＝60°，DE交∠C的外角平分线于E，那么△ADE是什么三角形？证明你的结论。”.

证法也类似，有共圆及全等两种手法，所以蒋声先生为这节所取的标题是“初三容易初二难”。

这两题的共同背景是：
设O是定直线L1外一个定点。在L1上任取动点P，作形状固定的三角形OPQ，则Q点的轨迹是图中所示的直线L2（相当于以O为中心的相似变换，将L1变换为L2）。.

反过来，由其逆过程就可得到一个命题：


“命题  设直线L1与L2相交于A，O是平面上一个定点，作∠OPQ＝∠OAQ交L2于Q，则比值OP∶PQ必是定值。”


注：线段OP与OQ的长度之比即为O点至直线L1和L2的距离之比，故定值可在△OPQ中推算而得。
特别是，当∠1＝∠2时，比值恰是1，即此时始终有OP＝PQ的结论。

[ 本帖最后由 老封 于 2007-5-31 11:31 编辑 ].

我曾将此命题改编为2003年的均瑶杯的决赛题：.

与王均瑶兄就这一面之缘，可惜他英年早逝了！

[ 本帖最后由 老封 于 2007-6-1 11:12 编辑 ].

引用:

原帖由 老封 于 2007-5-31 11:13 发表
这是一道较常见的几何习题，例如较早时就见于《数学题解》（吉林人民出版社1980年3月版，孙诲正 王得福 于永泉编）一书的（下册）第338页第1题。
如运用初三的知识，可直接证D、E、B、F四点共圆，极为方便；如 ...

果然是初三容易初二难，难就难在辅助线的作法不容易想到。.

我请我大学同学常文武博士将纪念Klamkin一文译成了中文，请大家欣赏。

从文中我们可以得知Klamkin主席既是一位解题大师，然而却对欧氏几何情有独衷。

真正大师级的人物都不会轻视几何的价值。

有人甚至说过这样一段话：

“谁看不起欧氏几何，谁就好比是从国外回来看不起自己的家乡！”

[ 本帖最后由 老封 于 2007-6-7 15:04 编辑 ].

追忆Murray Seymour Klamkin先生   [加拿大籍华裔]刘江枫

    首先声明此文并非歌功颂德的悼辞。我定义那是一种企图让亡者的一生听起来比实际好些的粉饰之词。而当下，这不但是无此必要，还实际上并不可能。Murray Seymour Klamkin先生一生著述颇丰，经历丰富，他的一生可分为工业和学术两部分。
关于其早年生活，我仅知道他生于1921纽约的Brooklyn，那儿他的父亲开着一家面包房，这是他一生喜好吃面包的明显原因。我从他的求学简历得知他的化工学士是1942年从Cooper Union工程学院拿的。他的妹妹Judith Horn女士告诉我，二战期间他曾在马里兰化学武器部队服役。
1947年，Murray获得纽约多技术大学科学硕士学位并在那儿任教至1957年。此后加入了AVCO的研究与高级开发部。
1962年，Murray短暂回归学术界，在SUNY，Buffalo当教授，后又成为Minnesota大学的客座教授。1965年，他挡不住工业界的诱惑参加福特汽车公司充当首席科学家直至1976年。
在所有这些经历中，Murray渐渐成为数学问题解决的活跃分子。他的主要贡献是为SIAM（工业与应用数学学会）评论充当问题部分的编辑。因其介入了William Lowell Putnam数学竞赛，故工作上与美国数学联合会关系密切。
1972年MAA为组建参加1974年的国际数学奥林匹克参赛队做准备举办了美国数学奥林匹克竞赛，那届赛事东道主是当时的东德。
Murray无暇从福特公司获得空闲时间来训练队员，因此失望之余他另谋转换门庭。结果他来到加拿大，先是任滑铁卢大学应用数学系的教授。但是不等Alberta大学的聘书寄到，他已决意离开。我不清楚Murray是否来过Banff，但想必他在谈判期间参观过这个旅游景点，爱上这个地方因此结束了谈判。
作为主席，Murray从私人工作环境中带来一种管理风格。显然并非每个人都愉快地接受它。但是他的确点燃了几把火，让一些人开始了研究的计划。
Murray始终对欧几里得几何感兴趣。他常向我提起他的高中时代，那时他和朋友常常互相挑战几何尺规作图的各种问题。虽然当主席并没有教学职责，但Murray亲自上一个班的几何课。
在此同时，Murray开始在Crux Mathematicorum上编辑奥林匹克角，这本杂志那时是由Ottawa大学的Leo Sauve私人出版。它现在成了加拿大数学会的官方杂志了。Murray还引入了本系的新生与大学生数学比赛。
几何，数学竞赛和Crux Mathematicorum是引起我注意Murray的直接原因。当时我是刚从他的系毕业的博士后，等着雇主的聘书。我肯干任何事情，而且凑巧我的兴趣和Murray一致。我参加他的几何班，帮助他做些组织系内竞赛的杂事和编辑工作。
我记得有一天我被叫进他的办公室。他刚接到一个作者为Crux Mathematicorum写的问题。“这儿有个好问题，”他说，“但是创编者的解答一点都不好。你来给一个好的解答吧，我周五下午就需要它！”
虽然我喜欢解决问题，可我不确信我能通过勤奋和用功找到答案。不管怎样，我发觉自己总是回应了挑战，我不能每次都让他满意，我努力做得比过去更好些，特别是当我已经过了初期的文化震荡。
70年代后期是学术的艰难时期少有为博士后的职位开放。有的职位列出来了但是供短期聘用，最终，我去别处待了一年作为带薪休假。Murray来为我的一个新职位面试我，促使我的任命通过了人力聘用委员会在1980回到他身边工作。
Murray一直是美国IMO1975年以来的副领队。1981，美国成为这项赛事的主办者，第一次在欧洲以外的地区召开。通常的领导人Sam Greitzer，成为了主要组织者。Murray接替了这个领导职位，并且将我任命为他的副手。
我在那个岗位上待了四年，1982年我第一次去了欧洲，因为那年的IMO在布达佩斯举行。后来的一届1983后在巴黎，1984届在布拉格。我因参加这一个个的盛会而深感受宠若惊，也发现与会者因Murray的出席也深感荣幸。他是一个全世界有争议的最知名的数学问题解决家。
1984以后，我和他都退休下来，当然后来我又重返了这个职位。他的主席的头衔也在1981年到期。这样我们的关系成为纯学术和私人的。他和他的妻子Irene没有孩子，他们很好客。我成了定期造访他们住所的客人，而他们也来过我的简陋蜗居几次。
也正是这个时期，我看到了Murray的不同侧面。以前，我觉得他是个商业气息很浓的人，他的天赋闪耀在他真知灼见的观点和手到擒开的高效上。现在我更发现他是一个有多方面的兴趣的人，包括古典音乐，跳舞，传奇故事，功夫电影和运动，特别是篮球。
尽管Murray在每样他尝试做过的事情上都成功了，但他最终可能会被记住的最重要的事是他参与了数学问题解决和竞赛。他创作或主编了四本问题书，在每一个有问题求解的核心的数学刊物是留下了印记。他接受过滑铁卢大学的荣誉博士学位又是瑞士皇家学会的会员。他荣膺无数的奖，某些奖的名称也以他的名字命名。
Murray的漫长的一生健康状况良好。直到2000年才有了些不太妙的情况，那年九月，他接受一次搭桥的手术。当他出院后他继续努力步行上班，登六楼台阶到办公室。还在西Edmonton购物中心滑冰。
他的心脏病在十一月间发作，所幸当时他在医院接受肌肉僵硬治疗。他重度昏迷了些时候。有一天，当我访问他时，他心脏主动脉大出血。医生暗示我他不期待Murray能捱过那一天。
就这样，Murray的内在动力在驱使着他，当我再一次看望他时，他完全清醒了。他要我为他安排八十大寿晚会，说他届时一定会出院。我认真对待了他的话真是做对了，因为他在那时真的出院了，准备好了庆祝。
他的最后一项工作之一是编辑MAA的新杂志数学地平线的问题部分。在如此困难的时候，他请我与他一同工作联合编辑这一期。后来他把这一专栏交给我的时候，他的手写的印记还遍布每一页面。
现在我在试图以不及他的智慧走他未走完的道路。他的逝世也许会是数学竞赛和问题解决的时代的结束的标志，人们会深深怀念他。.

http://ww123.net/baby/thread-4419802-9-1.html.

不久前我曾悄悄地隐藏起一个题目，原因是唐传发先生给出了一种绝妙证法！我们两人商量后，打算择日联手将此题提供给某数学竞赛用。但没想到好景不长，没隔几天，突然见到老姜和他的高足们在帖子中给出了新的证法：http://ww123.net/baby/thread-4419775-19-2.html

呜呼把这藏为竞赛题的梦想泡汤了 ，只得另外再想办法了


现将原题连同唐老师的证法一同公布，与老姜们的证法以兹对照；孰优孰劣，也不敢妄下论断，我想也许是各有千秋，平分秋色的吧。

[ 本帖最后由 老封 于 2007-6-14 15:46 编辑 ].

“如图，A、B、C是平面上任意三点。过两圆⊙O1、⊙O2的交点P任作三条割线A1B1、A2B2、A3B3，然后作△C1AB∽△CA1B1，△C2AB∽△CA2B2，△C3AB∽△CA3B3。求证：C1、C2、C3共线。”.

如图，设两圆的另一交点为Q，联结QC、QA1、QA2、QA3、QB1、QB2、QB3。易知△QA1B1∽△QA2B2∽△QA3C3。作△Q′AB∽△QAiBi，并联结Q′C1、Q′C2、Q′C3。
为了证明三点C1、C2、C3共线，只要证明如下面积关系成立即可：
S△Q′C1C2＋S△Q′C2C3＝S△Q′C1C3。
由于四边形C1AQ′B、C2AQ′B分别相似于CA1QB1、CA2QB2，易证明∠C1Q′C2＝∠A1QA2（记其为α），∠C2Q′C3＝∠A2QA3（记其为β）。且QC1/AB＝QC/A1B1，即
Q′C1＝（QC·AB）/A1B1，①
同理：                          Q′C2＝（QC·AB）/A2B2，②
Q′C3＝（QC·AB）/A3B3。③
在⊙O1中，由P’tolemy定理得 A2Q sin（α＋β）＝A1Q sinβ＋A3Q sinα。④
又由A2Q/A2B2＝A1Q/A1B1＝A3Q/A3B3，代入④，得
A2B2 sin（α＋β）＝A1B1 sinβ＋A3B3 sinα。⑤
然后把①②③代入⑤，可得到
Q′C1·Q′C3 sin（α＋β）＝Q′C2·Q′C3 sinβ＋Q′C1·Q′C2 sinα，
而这正是我们所需要的面积关系！

[ 本帖最后由 老封 于 2007-6-14 11:27 编辑 ].

为了嘉奖老姜的两位高足徐文浩，罗涛同学，特向他们奖励图书各一册！上面还盖有著名篆刻家李大元先生所刻的一枚精美印章！！！

同样，为了表彰唐传发先生的杰出工作，也向他奖励精美图书一套——《稳操胜券》（上、下册），对于老封来说，这可是所能拿出的最大的奖了。.

不久前，收到春笋逢春雨的一封短信：

老封老师:
    你好,我是春笋逢春雨的女儿,现初二.上次解出了一道有奖题,给你发了短消息,但没回音,好失望哦.  

今天看到154楼的题目,证法如下:

先证明三角形ABO相似三角形DOC,得到角ABD=角ACD.

由D点向AB和AC做垂直线,垂足分别为E和F.DE=DF.

证明RT三角形DEB全等RT三角形DFC,那么DB=DC.

请老师指教,这次有奖品吗?



可恨老封非大款，又自恨不像炫爸那般浑身绑满仙贝 ，一到关键时刻就显得捉襟见肘了。
真希望有哪位大企业家、大富豪、大慈善家突然慈心发现，能为几何爱好者们提供滚滚奖品，大庇天下爱好者俱欢颜……呜呼，吾庐独破受冻死亦足！
不过这样的好心人暂时还没有出现，看来雨后春笋们已没有等待的耐心了。没办法啊，老封只得自己兑现承诺：也向笋逢春雨女儿授以精美图书《奇妙而有趣的几何学》一册——这书可是由名师余应龙先生（特级教师）亲自翻译的，内容真很不错啊！

（以上获奖者请到长久大厦15楼领取奖品。）

[ 本帖最后由 老封 于 2007-6-14 15:48 编辑 ].

你老不要压力太小，心事太重，我建议你，买上N张明信片，签上你老的大名，当做礼品就可以了。

爱好者爱好的不是礼品.

1，许、罗两人让我代为转告他们的谢意。

2，答应孩子的事情一定要兑现。春笋逢春雨女儿的书如果不给的话，我以后不叫你老封，而叫你老赖了。.

不是老赖，是老忘。

现在年纪大了，记性不好了

抱歉啊！

老姜再这么错误地理解我，不是老姜，是老僵啊！.

余老师的译著，也是珍贵礼品啊！

这书只剩最后这几本了，一下子都给我买了。现在用作奖品，更显得可贵啊

余应龙老师


毕业于上海师范学院数学系，中学高级教师。长期担任上海市杨浦区教育学院数学教研员，现任杨浦区中小学学科竞赛指导学校校长。1990年被评为数学特级教师。
余应龙老师热爱数学教育事业，对初等数学和中学数学的教材和教法有深入的研究，教学能力强。既能胜任对各类学生的教学，也善于做好对教师的培训工作。在教学中十分注意发挥学员的积极性，培养学员的逻辑思维能力和创造能力，深受学员的欢迎，教学效果显著。
　　在担任数学教研员期间，余应龙老师努力贯彻上海市教育局提出的"加强基础，发展智力，培养能力"的十二字方针，积极组织各项教研活动，开展数学教学改革，培训了一大批教师，使该区的数学教学质量有明显的提高。
在组织和培养数学尖子学生方面，他从教学内容，数学思想方法的培养和调动学生积极思维方面做了大量的工作，近20年来，他所教的学生在各级各类数学竞赛中频频得奖，在上海市有较大的影响，为上海市的数学竞赛工作作出了贡献。
　　余应龙老师在"数学通报"、"数学教学"、"初等数学论文选"、"初等数学前沿"等书刊上发表了多篇有一定质量的论文。此外，他还参加了上海市新教材，中学教师继续教育丛书及多本数学竞赛培训教材的编写工作。
　　余应龙老师于1989年被授于中国数学奥林匹克高级教练员，1990年被评为上海市特级教师。1990年和1993年两次被评为杨浦区专业技术拔尖人才，1994年获第二届苏步青数学教育奖。.

引用:

原帖由 老封 于 2007-6-14 23:38 发表
不是老赖，是老忘。

现在年纪大了，记性不好了

抱歉啊！

老姜再这么错误地理解我，不是老姜，是老僵啊！

不是老僵，是老讲，你怕别人老讲，就要一直检点自己的行为

老僵是百年以后的事情，无人可以幸免的。.

引用:

原帖由 老封 于 2007-6-14 23:38 发表
不是老赖，是老忘。

现在年纪大了，记性不好了

抱歉啊！

老姜再这么错误地理解我，不是老姜，是老僵啊！

我证明，老封是老忘。：）.

我拥有一间半属于自己的书房，其中半间是将卫生间改装所成的；并拥有两墙壁联体书架，上下总共有十排，前后可重叠三层。书架还将不断扩张，到客厅，到走廊……
书房中已积有数以万计的自己所喜爱的书籍，其中包括超过一千册各式评论和探讨鲁迅及周作人的专著，有近千本各种《红楼梦》的研究著作，各种旧小说的汇评本、辑较本，有古典诗词、文学评论、外国小说，还有整套影印的《小说月报》，大量外文原版书……
当然也有自己专业上的珍宝：欧几里得《原本》的英文版，出版于一百年前的好几部近世几何原著，各种版本的老式教材，如《霍尔-奈特大代数》、《龙氏解几》之类的原版，此外，还有搜集了很多年的数学竞赛资料。
这在与我同龄的人中间大概算是值得羡慕的了。但对于我自己而言并没有感到自得，反而夹杂着些许遗憾和惆怅。
每个星期，随着逛街归来，一大摞一大摞新的品种又会增添到这一行列中来，总数以惊人的速度在增长，它们已开始堆放到墙根，到窗台，到床底……
这一切都是为了实现我童年时曾经有过的一个梦想。
我是上个世纪×十年代出生的人，从很小的时候起，我就在做美梦了。那时候，我有一颗好奇的心。一到晚上，端个小板凳，坐到凉台上，听舅舅和邻居海阔天空地谈一些稀奇古怪的事情，独自观察天上的星星，在那静悄悄的晚上，我幼小的心仿佛有一种飞似的感觉，世间竟然有那么多新奇而值得神往的东西。每当父辈朋友来作客，议论一些当世的趣闻，我则总是在一旁不作声地听着；有时杂志上登出一二个智力游戏，他们总是兴致勃勃地试图寻找解答，偶尔他们冲着我问道：“这你会不会解啊？”每逢这样的时候我总感到尤其的兴奋，虽说一时我并不会解，但我总想长大后也要像他们一样的有趣。
那时候，可说真像一只刚出世的小鸟，第一次看见这新鲜的一切，禁不住会叫起来：“噢，世界真大！”（安徒生童话《丑小鸭》中语）  对于我来说外面的世界何其神秘，而我则对什么都感到好奇，周围每一件事物都同样地吸引着我，脑袋里满是问号，现在想起来，倒真算得是一个活泼天真的小孩子哩。那时的我对于未来有着美丽的向往，既想当一个科学家，又想当一个探险家，大侦探，甚至像拿破仑那样的英雄，或者做一个巴尔扎克似的小说家，用笔尖来征服整个世界！
有一年，小学快毕业时，学校里大扫除，要我们这些高年级的学生去出点力。一扇贴着封条的门被打开了，露出了几只尘封的书架，以及上面整捆整捆纸质泛黄的文学书籍。要知道，那是主席刚刚去世的年代，像我这样年龄的人除了能看到政治书外，还很少有机会见到其它的书。第一次瞥见这许多新鲜的书名，一下子被那些陌生的封面震慑住了，我的心顿觉有一股荡气回肠的骚动。忘记了当时确切的心情是如何的，只记得那时候已顾不得扑鼻而来的霉味，而是一屁股坐到了满是积灰的书捆上；没顾上听老师要我们打扫房间的调遣，而是见到一本就拿起一本，恣意地翻阅了起来，久久而不愿离去……当时，真想一下子将这整个空间拥为己有！
从此我便省吃俭用，把零花钱积攥起来，开始学着逛旧书店，逐渐营筑起了自己的书窝。
记得第一次掏钱买书是在1977年的1月，是一本关于周恩来的书。当时交钱时还有些紧张，毕竟这笔钱对我来说已不是小数目。但一旦跨出了第一步，就会让人变得义无反顾。整个中学阶段，我就常利用放学途中步行的间隙，逛入福州路上的那家上海书店，买到了许多课外读物和科学家传记。
直到工作以后，狂爱买书的陋习一直没有改变过，反倒愈演愈烈，几乎将大半的收入都融入其中了。但是，那时我家不可能有书房，连书架也仅只有有限的五个，那是结婚时母亲特地为我订做的，虽说算得上顶天立地，但总量远远不够。家中渐渐演变成一个小杂铺，到处都堆起五花八门而又分门别类的品种，还贴上了各式的标记，不许家人随便挪动。此时家中连正常的起居都变得相当困难了，真可谓是“书满为患”。幸好我太太很少埋怨我。
直到2000年以后，在市郊购买了一套住房，才圆了我的书房梦。将书一捆捆包扎整齐后，从旧居分批搬送到新居，逐捆解开，慢慢撕去变得破旧的包书纸，然后按类别上架……在这一段难忘的日子里，我可谓沉浸于无比的幸福和喜悦中。
我现在常常看着我的藏书。成天能与鲁迅、安徒生、奥斯丁这些高尚的“友人”谈心，觉得自己心灵变得更为充实。但又在想，我什么时候才能读完这些书呢？曾经有过发奋阅读的一系列计划，曾经有过通宵达旦的旺盛冲动——但那好像已是十多年前的状态了。随着工作的日益繁忙，坐定看书的好日月变得越来越珍稀。一鼓作气读完一部小说对我而言也已算是久违的壮举了。而书越积越多，逐渐堆成一座座“小山丘”，已顾不上按类别让它们安居了。目前，只有铁打的初衷仍没改变：真渴望在有生之年读尽这么多的好书！
工作越变越繁杂，头绪越来越众多，步入中年的我开始处在一种穷于应付的感觉中。头上始添几茎白发，身体也不如从前般壮实，稍稍一多运动，就会流一身的虚汗……
而今我的心态已经平了很多。当拖着疲惫的倦体，步入这一方属于自己的小天地，摩挲起那些从旧书店一本本淘来的心爱宝贝时，心中已觉得相当地满足了。壮志豪情离我渐行渐远，我变得实际了。
但与此同时，又发现了一个令人伤心的事实：记忆力在无情地减退。尽管有一本记录本，密密麻麻记上许多书名，但仍不时会发觉买回了重复的书。以往这是绝对不会发生的，我曾相当自信拥有过好的记性，哪本书放在哪个特定的部位，这在以前是一目了然之事，而现在我就不敢这么自夸了。
在《我要去桂林》那首歌的歌词中包含有这样的意思：当我想拥有的时候没有这个实力，现在稍有一些实力了，精力却又开始不济。真是好无奈的现实呵。
如今，新的遗憾接踵而来，连再多做几个书架这一并不过高的奢想，也因抽不出完整的时间而一搁再搁。不知又要拖到猴年马月，才能实现这下一步的目标。到那时，头上又会多出几许白发，记忆力又会变得何其糟糕……我不敢多想下去了。
真想大声怒吼一声：“安得书房千万间，让天下尚未白发的读书人早些厕身其间！”
我现在最希望的事是：让我的儿子，或者其他一些年轻的朋友，也能像我过去那样地喜欢书。我真诚地愿意把自己这多年的积聚与他们一起分享。
愿天下更多的人能意识到书中所存在的快乐，而不要像我那样再等到明天。.

补：这是几年前写的。现在的头发已是一大半白的了！.

看看那时多有激情啊，现在就想抓m

[ 本帖最后由 炫炫爸 于 2007-6-15 11:35 编辑 ].

哈哈，看到小帅锅了.

今天随着对一个题目的深入研究，得到一系列有趣的进展。
我先来叙述其中第一个有意思的结果：

命题  设⊙O1和⊙O2相切于P点。一条任意的直线顺次交两圆于A、B、C、D四点。则△PAB、△PAC、△PBD、△PCD的外心一定四点共圆！
所共圆还经过一个定点Q，在连心线上，满足PQ^2＝PO1×PO2。.

第二项进展是把这个结论推广到任意四边形中了，结论越加漂亮了。不过由于涉及到等角共轭点，知音也许更加寥寥，所以暂时不公布了.

曲高者和寡，收藏了，慢慢看。 .

只公布共线时的一种特例：

命题  设A、B、C、D是共线四点。则△PAB、△PAC、△PBD、△PCD的外心共圆的充要条件是：∠APB＝∠CPD！

这时所共圆的圆心O之轨迹是如图所示的两条优美曲线。.

引用:

原帖由 echooooo 于 2007-6-21 16:59 发表
曲高者和寡，收藏了，慢慢看。

老殿来邮件说最近很忙。
否则他会和我讨论的。.

经常，我们会欣赏到一个个优美的数学命题；其实，通向最终果实的道路往往是曲折而多坎坷的，在这些智慧结晶品的背后，都蕴藏着一段真实的故事；虽说有没那么完美，但相对说来却比最终的成品更为激动人心！

让我们就来看一看昨天那些新结论背后的故事。它其实正是我和几位好友互相切磋的结果。

这就是我和田君的MSN交流的全程记录，爱好者也许能借此一窥草创的艰辛，不过同样也能分享到其中的一分欣喜：


【07-06-21】
老封 说:
我编了个新题:
老封 说:
设两圆内切于P点
老封 说:
一直线顺次交两圆于A、B、C、D四点。
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
然后呢？
老封 说:
求证：三角形PAB和PCD的外接圆半径乘积是定值。
老封 说:
能否推广？
老封 说:
我试了一下，不能推广到极限点。
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
好象可以
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
用几何画板
老封 说:
你见过这种题型么？
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
没有，有点调和点的味道
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
外切为何不可
老封 说:
外切的情况是类似的
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
您要朝何方向推广？
老封 说:
任意两圆的情形
老封 说:
还发现一个有趣现象：
老封 说:
四个三角形PAB、PAC、PBD、PCD的外心共圆。
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
您先发过来，我跑开几分钟
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
很漂亮
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
原来的题目意思就是PA、PD之积与PB、PC之积的比是常数吧
老封 说:
第二个结论的推广方向是什么？
老封 说:
有意思的是，所共圆还经过一个定点！
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
反过来任给A、B、C、D在一直线上，P的轨迹是？
老封 说:
满足什么性质的轨迹？
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
就是保持乘积之比是常数，或四个外心共圆
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
这个题没意思，解析几何告诉我们，一定是四次曲线
老封 说:
那个定点有什么性质？
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
乘积之比是常数，就与四外心共圆等价？
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
乘积之比还有好几种，是不是都对应于不同的外心共圆？
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
比如PAD的外心
老封 说:
我想要两个圆搭配
老封 说:
A、D集中的同一圆上是不允许的
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
我是把圆去除后问的
老封 说:
四个外心共圆可推广到极限点！
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
看来还有点复杂
老封 说:
但刚才检验过，乘积相等却不能推广到极限点
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
到底等价吗？
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
还是添加条件？
老封 说:
我不明白你的意思
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
对对，我搞错了。我主要是问，如果有A、B、C、D，那么P有何限制，有没有比四外心共圆更简洁的判定
老封 说:
上述现象，表明这两个结论不等价
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
前面我乱说的，刚才有人跟我说其他事情，干扰了一下。
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
P的轨迹也未必是四次曲线，因为我这里圆的大小在改变
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
如果是二次曲线就好了
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
求出来了，当A、B、C、D固定时，P在一圆上，看来这个圆很重要
老封 说:
你指的是共圆？
老封 说:
还是比值？
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
也许是
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
不是比值
老封 说:
能把问题说得更具体点么？
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
就是当A、B、C、D依次在一条直线上，求P轨迹，使PAD的外接圆和PBC的外接圆内切
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
PAD的外接圆大
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
太好了，对于每一组A、B、C、D，都有这样的一个圆存在
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
其实是一很平凡的结论，但是几何就是一堆平凡结论拼出不平凡
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
您看看这个圆与您的四外心所共之圆有何关系？
老封 说:
那是Apollinius圆
老封 说:
相切与角相等是明显等价的
老封 说:
与外心所共的圆好象没关系
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
不过四个点决定了这个圆的圆心和大小。
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
应该有点关系吧。
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
您说得也在理。我说的圆是固定的，外心圆则是变化的
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
外心圆的圆心轨迹是？
老封 发送:

传输“1.GIF”完成。

tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
您到到什么结论吗？
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
G 的轨迹是什么？
老封 说:
是不是这个意思？
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
是
老封 说:
标错了，G应是O
老封 说:
看样子是高次的
老封 说:
不是二次的
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
O的轨迹是？
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
但这两个圆真地毫无关系吗？还有一开始的两个圆
老封 说:
你能否把问题整理一下，我已经不明白互相间的意思了
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
我没多少想法，我只是觉得阿氏圆和外心圆以及A、B、C、D之间或多或少会有点关系
老封 说:
我最关心的还是一开始外接圆半径乘积是定值的推广
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
您的意思是：两个不处在特殊位置的圆，一条直线截出四个点，这些条件还是要的
老封 说:
这是原问题的出发点，如能打破这个限制当然更好
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
根轴与连心线的交点没用？
老封 说:
我的思路已经彻底乱了
老封 说:
发现一个新现象：两圆的极限点为P，直线顺次交四点于ABCD，则PAB与PCD的外接圆半径积，恰好等于PAC与PBD的外接圆半径积！
老封 说:
这与你说的比值是否有联系？
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
我觉得有点意思。不过与我的比值可能没关系吧。
老封 说:
这些结论能否整理出一条线索？
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
我得来您这里看看您的演示，比较好
老封 说:
我的立足点是定圆，你和魏磊的立足点是共线四点，观察角度有点不同
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
蛮好
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
其实还是得来看您的演示，效果好
老封 说:
你装一下几何画板就好了
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
是的
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
我要装的
老封 说:
重大突破！
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:

老封 说:
任意两圆，P是任意点
老封 说:
则外接圆半径乘积总是相等的！！！
老封 说:
好象太夸张了吧
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
奇怪
老封 说:
但已经验证了
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
还需要圆吗？
老封 说:
你想想吧
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
不错
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
我记下
老封 说:
这本质究竟是什么？
老封 说:
肯定不需要圆了吧
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
我还是不完全清楚您的结果
老封 说:
可能是平凡的
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
如果是PAB、PCD外接圆半径之积等于PAC、PBD外接圆半径之积，那就是正弦定理加乘法交换律。
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
这大概是陈题
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
至于角APB与角CPD相等，能否推出四外心共圆，是不是新的发现，难度大不大？
老封 说:
我不知道
老封 说:
结论肯定正确的，刚才那幅图就是验证这个的
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
是的
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
一道好的竞赛题
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
相信不会太难
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
难的是发现
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
已经解决，一句话
老封 说:
怎么一句话解决？
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
连几条线，分别与PA、PB、PC、PD垂直，立即得到一些角相等
老封 说:
你的意思是：四外心共圆和两角相等的充要关系？
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
确实是充要的
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
我在想圆心有什么性质
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
这可能难一点
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
尽管其轨迹是高次曲线
老封 说:
还有，四点不共线情况呢？
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
对，不共线不影响，只要有角相等
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
强的
老封 说:
那就和等角共轭是等价的？
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
是
老封 说:
四点不需要附加条件？
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
不需要
老封 说:
我以前只知道等角共轭和四个垂足共圆是等价的，现在难道又多了一个充要条件？
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
什么垂足？
老封 说:
太漂亮了！
老封 说:
我在几何画板中已经验证
老封 说:
P在四边形ABCD四边上的垂足共圆，与PAB、PBC、PCD、PDA的外心共圆互相充要！
老封 说:
直接证难不难？
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
这么说，与等角共轭三个条件等价？
老封 说:
是的
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
不会难做的
老封 说:
你试试
老封 说:
绕过角
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
对的，我已经想明白了。
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
P在外是角相等，在内就变成互补了
老封 说:
可以做竞赛题么？
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
不能
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
简单了一些
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
除非是一个复杂结论要用到的中间步骤
老封 说:
放在完全四边形的背景中，应该是更多外心共圆吧？
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
我一下子没图，倒不好说
老封 说:
因为垂足总有四个
老封 说:
对节却有六对，十二个！
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
那也不一定在一个圆上
老封 说:
是的，是三个圆，好象形成共轴圆系！
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
那真是很好的
老封 说:
太妙了！而且P点就是极限点之一
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
算是今天一大发现？
老封 说:
另一个极限点好象就是密克点！
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
太棒了
老封 说:
下一步打算调查根轴，看看它是否经过定点？
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
美丽的东西上帝也无法隐蔽掉
老封 说:
我有办法在几何画板中画出连续变化，不过需要一点时间
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:

老封 说:
已经精确验证了！
老封 说:
刚才两个结论完全正确
老封 说:
但根轴并不经过定点
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
真地很好，您能否画个图，再加上说明文字呢？
老封 说:
这个图难度太大了，只有我还能看得清
老封 说:
旁人肯定看不清楚了
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
还有件事，冯志刚建议我们这套书叫“数学竞赛研究系列丛书”，他表示要花力气好好写，您的书一定也很精彩，他说可能出英文版。
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
如果出版社认为值得的话
老封 发送:

传输“2.GIF”完成。

tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
不说还真看不明白
老封 说:
P是具有等角共轭的点，红圆是垂足圆
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
是
老封 说:
M是密克点，三个绿圆是外心所共之圆
老封 说:
还有一条是根轴
老封 说:
曲线是P的轨迹
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:

老封 说:
轨迹经过六个顶点和密克点。轨迹上的另一点就是P的等角共轭点
老封 说:
你看还有什么思路可以发掘？
tianty——一生负气成今日，四海无人对夕阳 说:
我马上要去一个人家里，晚上再论吧.

田君,一位愤世嫉俗的数学高人,没想到却有如此古怪的内心独白:


××兄：
您好！
书寄上。最近我也不太顺。
今天早上我没赶上一辆车。我们那里误一班车，就得等15~20分钟。于是我想偶尔坐一次出租车，只开很短一段路，再到另一辆公共汽车的起点站转乘。结果道路奇堵，我不得提早下了出租车。后来迟到45分钟。就在这时间内，我有了感受，写了一段乱七八糟的话。
祝
好！
田廷彦
2002．4．10


无题


我崇尚数学，
曾经大悲与大喜。
别人劝我俗一点，
这话或许有道理，
可我无法抛弃自己的经历。

那些曾被我不屑一顾的人，
现在个个发了财，出了名。
我想，没关系。
他们拥有物质，
我拥有精神，
同样能为社会尽一份力。

于是，我不在乎工资的高低，
不在乎出国的机会。
对此，同事不理解，
亲戚不理解，
父母也不满意。

我一心只想，
当数学家，
做社会批评家，
这样活着，
不是更有意义！

可是，我错了。
物质是何等的重要，
有了物质，才有精神，
哪怕是下流无耻，不学无术，
也能被修饰成天使，巨匠。
而我一个穷光蛋，
连发言权也没有，
如何去为社会尽力？

回顾过去的岁月，
我只能哑然失笑。
在为题目苦思冥想时，
别人在背单词，
发展人际关系。
或者玩电子游戏！
背单词的，
现在出了国；
搞人际关系的，
现在升官发了财。
玩电子游戏的，
总比我这一无所获强！

我痛恨，我不解，
一种低劣的价值观，
凭什么压制另一种价值观？
很快，我发现自己又错了。
持另一种价值观的人，
其实也不怎么的。

如果说自己想发财，
谁会不相信？
如果说自己是追星族，
谁会怀疑你？
物欲的可爱就在于，
到处都能找到认同和兴趣。

可是，即便你真的懂
雨果、肖邦、威尔第。
同行还是认为你胡说一气。
知识分子从来就是这样，
特别是文人，
非到地球灭亡那天，
关不上那张臭嘴皮。

现在我该怎么办？
把过去全部放弃，
向被我不屑一顾的人卑躬屈膝？
生活原本是不可逆，
正如天真烂漫可以变得老奸巨滑，
反过来却不可能一样。
我已经领略数学的天高地厚，
又如何忘记？

突然，我有了领悟：
其实，我什么也没得到，
什么也没失去。
精神，不过是内心的独白。
社会即使再丑陋，
也没有问题。
真正有问题的，
是自己与上帝。.

突然发现数学高人都挺有性格的!.

据说今年中考数学的最后一题有一定难度。我看了题目后觉得这题意思并不很大。相比而言，第（1）小题稍有意趣；后面两小题却体现不出什么想法，所以这里就不讨论了。
说穿了，第（1）小题的背景是相似变换中直线的轨迹，不过是以特例的形式表现出来的。
如下图，当动点P在直线AN上运动时，形状保持不变的三角形BPO绕B点在作相似旋转，其顶点O的轨迹是一条直线；这条轨迹直线经过A点的充要条件是∠BOP与∠A互补；进一步，这条轨迹直线是∠A的平分线的条件是：△BPO是顶角与∠A互补的等腰三角形。.

我上回曾在进华中学的一次会议上总结了两句话，引起大家的哄堂大笑：

“竞赛数学不是好的数学；但目前不是竞赛的数学往往是更加不好的数学。”

说实在，数学追求的应是深入而完美的对象。之所以我们目前较少能见到好的数学，是因为功利的心态、近视的目光及短期的行为束缚住了大家的手脚。
其实只要不停留在表层，多思考一些涉及本质的问题，就能接近“好的数学”之境界。
几何中，这类问题的更一般模式涉及密克（Miquel）定理（见《近代欧氏几何学》第7章）。
一般说来，对任给的△D′E′F′而言，总能在给定的△ABC“内”（或其三边延长线上）作出其内接的相似形，这样的相似形有无穷多个，可以绕密克点M作相似旋转（如下图）。.

换一角度看，如果在BC边上先固定了D点，根据相似变换作图法，一般说来，在△ABC另外两边所在直线上总能找到唯一确定的E点和F点，使得△DEF相似于△D′E′F′。.

但例外的情形发生于∠D′与∠A互补时。此时，对绝大多数D点而言，这个问题是无解的；而对某一个特定的D点而言，问题却又有无穷多解（这一特殊的D点所满足的条件是：它到AB、AC两边的距离之比，等于线段D′F′与D′E′的长度之比）。.

中国科技大学有位资深老教授曾肯成先生（已去世），在文革前的一次讲座中提醒大家，存在如下出乎意料的情况：
在同一平面内，如果两个相似的三角形BCD和B′C′D′的对应顶点联线通过同一点A，此时△BCD和△B′C′D′的三边方向却并不一定是平行的！
两个三角形的对应顶点联线如果通过同一点，就称为“透视”。两个相似三角形满足透视条件，应该说是一种很高的要求，在绝大多数情况下的确能保证两者对应边方向一致（称为“位似”）。
但的确有例外！例如下图所示的情形便是。
其实，这种情况正好发生在当∠D（或∠D′）与∠A互补时，跟前面叙述到的现象是同一机理。.

封老分析透彻，顶！.

好久不见,大家好.老封终于从外地回来了!.

老封一回来，就有好题目可以看了。.

有个不错的好题目，可惜不是老封自创的：
“如图，正六边形ABCDEF中，E′F′∥EF，且∠E′C F′＝60°。
求证： S六边形ABCDE′F′＝2×S△C E′F′。”.

额。。老封老师(这样叫很奇怪啊) 。上次你给我们推荐了这个网站，还有一道回家作业你说在这里有详细过程解答，可是我没有找到。不知道在哪里啊。。.

引用:

原帖由 老封 于 2007-6-22 10:59 发表
田君,一位愤世嫉俗的数学高人,没想到却有如此古怪的内心独白:


××兄：
您好！
书寄上。最近我也不太顺。
今天早上我没赶上一辆车。我们那里误一班车，就得等15~20分钟。于是我想偶尔坐一次出租车，只开 ...

看不出田老师心里有那么多的怨恨。其实我们学生都很喜欢他的。田老师确实是一个很有个性也很好玩的老师，在几何上也很有造诣，给我们上课的时候很有意思。其实没有名利又如何呢？何必对他人的名利眼红呢？.

引用:

原帖由 老封 于 2007-5-16 14:09 发表
Let $ABC$ be a triangle, with incenter $I$. Its incircle touching the sides $BC, CA, AB$ at $D, E, F$, respectively. Line $EF$ intersects lines $BI$ and $CI$ at $Q$ and $P$, respectively. Lines $BP$ and $CQ$ meet at $X$. Then $XI$ is perpendicular to $BC$.

这题的解法,加上如下命题:

可证..

我在东方热线上发表了两条平面几何的猜想：
http://forum.cnool.net/topic_sho ... 494&flag=topic1
http://forum.cnool.net/topic_sho ... =494&flag=file1

大家不妨去瞧瞧！.

引用:

原帖由 小疼718 于 2007-7-31 07:37 发表


看不出田老师心里有那么多的怨恨。其实我们学生都很喜欢他的。田老师确实是一个很有个性也很好玩的老师，在几何上也很有造诣，给我们上课的时候很有意思。其实没有名利又如何呢？何必对他人的名利眼红呢？

呵呵，你们能看到老师在上课时候的表现。

究竟有多少人看到上完课以后的老师的艰辛。.

现代生活的诱惑是多方面的，大千世界确是有其精彩纷呈的一面。并不是说，所有人都要千篇一律地把读书做数学当成第一乐趣——这是一种过分的要求，也是万万不可能办到的——萝卜青菜各有所好是应该的。不过在我看来，与书的世界相比而言，物质世界和放浪生活所能带来的乐趣远比想象中的有限，尤其是当你经历过之后。所以说，这个世界里谁该羡慕谁永远是件说不清的事，就像究竟先有鸡，还是先有蛋一样。那些认为书生是可怜虫的人，也许自己更是个可怜虫，也说不准呢。.

引用:

原帖由 老封 于 2007-6-21 17:03 发表


老殿来邮件说最近很忙。
否则他会和我讨论的。

确实太忙了，妻病重，杂事又多。
老封：近日抽空重读你给我复印的资料中有关完美六边形的知识，认识到完美六边形的复合（顺）相似变换的本质，联想到你信中所说的“研究复合（仿射、射影）变换内容还是一个空白”，就挤时间思考一下，觉得复合（仿射、射影）变换还是相当复杂的，主要是因为仿射、射影变换的种类、变换自由度太多，还有待继续研究。
即使是相似变换，还有复合逆相似问题。当然，复合逆相似得到的是一个顺相似，我得到的一个关系如下图：边的关系和完美六边形一致，角的关系不同：顺相似的相似角为逆相似轴（两对之一）的夹角2倍。其中P1到P2是以O1为中心的逆相似，O1Q为一条相似轴，P2到P3是以O2为中心的逆相似，O2Q为一条相似轴，P1到P3是以O3为中心的顺相似。之后忽然想到是不是与你讨论的“两顺一反相似三角形”（抱歉，对你的此项研究我还没有完全掌握）内容有关？

[ 本帖最后由 老殿 于 2007-9-3 07:10 编辑 ].

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引用:

原帖由 老封 于 2007-6-22 09:45 发表
经常，我们会欣赏到一个个优美的数学命题；其实，通向最终果实的道路往往是曲折而多坎坷的，在这些智慧结晶品的背后，都蕴藏着一段真实的故事；虽说有没那么完美，但相对说来却比最终的成品更为激动人心！

让 ...

经过艰苦探索得出的结论带来的成功的快乐是推动深入研究的强大动力!.