提供一个思路，不知是否正确。可能计算过程存在问题。
还有些其它方法，思路有些类似，也需要找到递推式。

先假设只有1个员工，没人拿到自己卡的可能数为0，记 X(1)=0
只有2个员工，没人拿到自己卡的可能数 X(2)=1
只有3个员工，没人拿到自己卡的可能数
X(3)=所有可能数-1个员工拿到2个员工没拿到 - 2个员工拿到1个员工没拿到 - 3个全拿到
     =3!- C(3,1)*X(2) - C(3,2)*X(1) -1 = 6-3-1= 2
只有4个员工，没拿到自己卡的可能数
X(4)=所有可能数-1个员工拿到3个员工没拿到 - 2个员工拿到2个员工没拿到-...-4个全拿到
     =4!-C(4,1)*X(3)-C(4,2)*X(2)-C(4,3)*X(1)-1
     =24-8-6-1=9
只有5个员工，没拿到自己卡的可能数
X(5)=所有可能数-1个员工拿到4个员工没拿到 - 2个员工拿到3个员工没拿到-...-5个全拿到
     =5!-C(5,1)*X(4)-C(5,2)*X(3)-C(5,3)*X(2)-C(5,4)*X(1)-1
     =120-45-20-10-1=44
只有6个员工，没拿到自己卡的可能数
X(6)=所有可能数-1个员工拿到5个员工没拿到 - 2个员工拿到4个员工没拿到-...-6个全拿到
     =6!-C(6,1)*X(5)-C(6,2)*X(4)-C(6,3)*X(3)-C(6,4)*X(2)-C(6,5)*X(1)-1
     =720-264-135-40-15-1=265
只有7个员工，没拿到自己卡的可能数
X(7)=所有可能数-1个员工拿到6个员工没拿到 - 2个员工拿到5个员工没拿到-...-7个全拿到
     =7!-C(7,1)*X(6)-C(7,2)*X(5)-C(7,3)*X(4)-C(7,4)*X(3)-C(7,5)*X(2)-C(7,6)*X(1)-1
     =5040-1855-924-315-70-21-1=1854

所以概率=1854/7!=36.79%.

哈哈，只有靠递推式了。
简洁的方法暂时还想不出来，看到这题，想用简洁的方法，发现行不通，没想到和你的方法完全一样。.

早上看到这个题，粗略的想了想其它方法，就直奔这个方法而来，没想到和你的想法要不谋而合，大概是你的思路吸引我用了你的思路。我们一把年纪，要不是为了儿女，估计也不大会做这些题了。有的时候几个好手一起做做题，感受一下互相思想的碰撞，确实挺有趣的。.