大家听到极限问题可怕啊!极限问题是有关无穷的问题,是微分和积分的初步,也是不少大学毕业的BBMM至今提起来心有余悸的问题吧。
嘿嘿,那是因为那时候大家都是天之骄子,衣来伸手,饭来张口,不会切萝卜所致。
现在就让我们从切萝卜来证明一个极限问题:
1、我们手里有一个萝卜,也就是数字1
2、第一次,我们一切两半(当然是绝对的各1/2),也就是1/2 + 1/2
3、第二次,我们把上一次切出来的一半再切成,1/4 + 1/4
、、、依次切下去到无穷,我们就得到了一个关于无穷数列的算术和:
1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + .... + 1/2^n ...
我们把无穷个大大小小的萝卜片合起来,还是原来那个萝卜,不多也不少,于是:
1 = 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + .... + 1/2^n ...
把切好的萝卜放进锅里,等待萝卜烧牛肉的间隙,让我们来玩玩历史上著名的芝诺悖论吧.
阿基里斯是希腊传说中跑得最快的人。一天他正在散步,忽然发现在他前面100米远的地方有一只大乌龟正在慢慢地向前爬。 乌龟说:“阿基里斯! 谁说你跑得最快?你连我都追不上!”阿基里斯回答说:“胡说!我的速度比你快何止百倍!就算刚好是你的10倍,我也马上就可以超过你!”乌龟说:“就照你说的,我们来试一试吧!当你跑到我现在这个地方,我已经向前爬了10米。当你再向前跑过10米时,我又爬到前面去了。
每次你追到我刚刚耽过的地方,我都又向前爬了一段距离。你只能离我越来越近,却永远也追不上我!”阿基里斯说:“哎呀!我明明知道能追上你,可你说的好像也有道理,这是怎么回事呢? ”这个有趣的悖论,是公元前5世纪古希腊哲学家芝诺提出来的。在2 000多年的时间里,它使数学家和哲学家伤透了脑筋。先看下面的图:
阿基里斯在A点时,乌龟在B点;他追到B,它爬到C;他追到C,它爬到D,……我们看到,阿基里斯离乌龟越来越近,也就是,AB,BC,CD,……这些线段越来越短,每个都只有前一个的1/10,但是每一个线段的长度都不会是0,这就是说,当阿基里斯按上面的过程去追乌龟时,在任何有限次之内他都追不上乌龟。 那么,阿基里斯真的追不上乌龟了吗? 当然不是。所以会产生上述困难,是因为忽视了一个十分重要的因素:由于那些线段越来越短,阿基里斯跑完那些线段所用的时间也越来越短,下一次只相当于上一次的1/10。 芝诺悖论的关键是使用了两种不同的时间测度。原来,我们用来测量时间的任何一种“钟”都是依靠一种周期性的过程作标准的。如太阳每天的东升西落,月亮的圆缺变化,一年四季的推移,钟摆的运动等等。人们正是利用它们循环或重复的次数作为时间的测量标准的。 芝诺悖论中除了普通的钟以外,还有另一种很特别的“钟”,就是用阿基里斯每次到达上次乌龟到达的位置作为一个循环。
用这种重复性过程测得的时间称为“芝诺时”。例如,当阿基里斯在第n次到达乌龟在第n次的起始点时,芝诺时记为n,这样,在芝诺时为有限的时刻,阿基里斯总是落在乌龟后面。但是在我们的钟表上,假如阿基里斯跑完AB(即100米)用了1分钟,那么他跑完BC只要6秒钟,跑完CD只需 0.6秒,实际上,他只需要1 又1/9分钟就可以追上乌龟了。
因此,芝诺悖论的产生原因,是在于“芝诺时”不可能度量阿基里斯追上乌龟后的现象。在芝诺时达到无限后,正常计时仍可以进行,只不过芝诺的“钟”已经无法度量它们了。 这个悖论实际上是反映时空并不是无限可分的,运动也不是连续的。
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看到这MM们一定会笑了,后面这解释的是什么啊?不就是拿一把刀把时间或者路程切的越来越薄,无论有多少片,无论最后有多薄,加起来,萝卜还是那个萝卜。也就是说,无穷个数的算术和仍然可能是一个有限的数值,极限就是这么回事。不过MM们且慢得意,切萝卜的等式咱们找到了,可是那只是“想当然”而已哦,如果牛顿只停留在“想当然”就不会发现万有引力了,所以我们还要用数学的方法去证明,这个问题有点复杂,不妨给小五学过通项式的儿子试试。
听见有位 MM 在锅边吟唱到:”无限存在于有限之中,有限之中孕育着限;当未跨出当下这一步时,有无限种可能,一旦跨出这有限的一步,也就超越了刚才的那无限。”于是,我们知道,今天可以吃到萝卜烧牛肉了。
如果您还意犹未尽请参看:
http://zh.wikipedia.org/wiki/芝诺悖论
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本帖最后由 ccpaging 于 2009-3-2 00:47 编辑 ].