引子：
最近听到个小幽默，说是家有初中生的家长QQ/微信圈子里面，有个家长感慨说，以后的女孩子择偶标准中，除了要有房无贷款外，还得加上会"奥数"，做父亲的得会辅导孩子的奥数题啊！
这话说到我心坎了，我得意地对孩子他妈说，你看，嫁给我还不错吧？现在的我不就是“有房无贷款会奥数”么？孩子他妈报之一笑，说: 切!

正文：
一直用孩子他妈妈的账号在旺旺网上潜水了很多年，最近看到了这个帖子，很受鼓舞：
女儿的初中生活   http://ww123.net/viewthread.php?tid=4857531&highlight=
原来天下父母都一样，上班忙工作，下班管孩子吃喝拉撒，有能力的还得管管孩子的学习，做奥数题!

我家就主要是我管儿子的功课。不过当年我本来就是数理化高手，大学和研究生就读遍了上海滩上仅有的两所中国Top 5的名校，辅导孩子的数理化本不在话下，况且本人也是自愿且满心欢喜的，因为特别是再次面对初中的几何题时，我发现我居然保持还有20几年前对几何证明题的那份热情(有点变态是伐？不要砸哦)。

在此学习下Cathymother记录女儿初中生活点滴的精神，我也记录点辅导儿子功课的一些心得感想，与其他家有初中生的家长交流或者共勉。希望自己能够坚持下去，直到孩子初中毕业。.

多谢鼓励！.

现状就是好的资源有限，竞争激烈啊，要么有银子到外面高价请名师辅导，要么家长自己辅导。

不过话说过来，这也绝非上海、中国所独有的现象。大概上个月的新闻晨报上就有美籍华人薛涌的连载评论，讲述的就是美国的中学教育，看起来比中国学生竞争的严酷程度有过之而无不及！
据他称(他自己的女儿就是中学生)很多孩子半夜1、2点还在与作业奋战啊！ 恐怖！
他总结的话是： 如果在美国只是混混的话，一般的学校确实没有家庭作业，很轻松。但是好的学校、优秀的学生一定是勤奋努力练成的，不是说在国外不用努力学习就可以轻松地获取好学校的入门券和赢取好的社会地位。.

初中的第一次期中考试刚刚过去，这个星期一的时候，班级的家长QQ群里面就炸开了锅，原来家长都在学校的网站上刷孩子的考试成绩，据说都快把网站刷爆了。

我当然也在这众多的刷网站人之列，但心里倒不算焦急。不是因为孩子成绩很好而心里笃定，而是没把一次考试看得那么重。心里最多的其实还是好奇，一是好奇儿子倒底在年级能够排到哪个层次，而是好奇自己的辅导效果如何。

其实儿子小学5年的数学一直都是我辅导的，只不过跟别人在外面报辅导班的目的不一样，我只是每次大考前帮儿子梳理下课内的学习内容，并没有搞一些奥数的内容。在我看来，小学数学都谈不上是数学或一门学问，甚至包括六年级预初在内，数学更多的是强调计算能力，仅仅是算术而已，搞小学奥数就是搞偏门。我认为真正的数学逻辑思维是从代数和几何开始的。所以小学的时候，我没有对儿子进行系统性地辅导，而是采取考前抱佛脚式的辅导。我对儿子小学的要求也就是保持中等偏上即可，尽量做到不逼迫、快乐地学习。

当然我的这种学习目标和辅导方法可能仅仅适合于我的孩子，对于其他家长而言不一定可取，个中缘由是: 儿子当时所在的小学是徐汇西南的所谓上海市民办小学名校，成绩保持中等就可以直升其初中部（也是徐汇西南的所谓上海市民办初中名校）。所以我没有给儿子灌输小学奥数的内容，也没让他参加任何奥数比赛，他的数学成绩也就刚好达到我的目标：年级的中等偏上一点点。可能在很多旺旺家长眼里看来，儿子其实就是个不起眼的中等学生（没有任何竞赛证书）。

拿到直升初中名额后，初中还搞了一个分班考（兼培优班选拔），人人必须参加的，所以儿子也就参加了。本来我和孩子妈都认为能够直升初中就不错了，根本没想过培优班，况且他们小学排名靠前的学生分班考是有额外加分的，怎么考得过那些人？当然话虽这样说，考前我还是陪儿子抱抱佛脚，给他搞了些解方程应用题、几何题的培训。选拔考试结果一出来，可把我和孩子他妈吓坏了: 他居然挤入了最强的理科班。这下压力山大了。据孩他妈说，非直升的外校考入此初中者，各个都非善类，都手握N多证书（奥数，桥牌，信息奥等--当时我第一次听说还有信息奥这个东东，孤陋寡闻），咱本来呆在普通班，准备6年级先混个中等，初一初二再慢慢往前赶就行了，哪敢妄想一上来就直接与奥数达人PK? 岂不是在培优班里被人当做垫脚石，把学习的兴趣和信心都给踩掉了？

但是木已成舟，上了贼船就没法退出，不如迎难而上吧。先制定计划：首先把目标从年级中等改为培优班的中等 -- 起码不能让儿子因为成绩排名太差而丧失信心吧？

再者，初中不像小学，不系统地训练和提升，中考是难以取得好成绩的。这个我在小学升初开始就开始关注中考，先是翻完了初中的全部数学教材，看完后的感想是：现在初中数学教材内容真简单啊。然后再看最近几年的中考压轴题，傻眼了：这分明是竞赛题嘛，跟教材内容难了不知道多少倍。所以知道了：就算你不想搞奥赛，为了中考数学高分，你也得懂点奥数。

于是我主动担起重任，向孩子他妈郑重表态：从预初开始，给儿子开始做系统的、规范的数学培训，每周1课，面向中考，向奥数拔高！

但孩子他妈对我半信半疑，担心承受不起我这教学实验万一失败的损失，坚定地找人凑班，从开学开始就花重金，请所谓机构里的名师进行小班培训。

反正就这样，我的家庭每周1课和机构名师的每周1课就各顾各的开起来了。.

我天天看的纸质新闻晨报，上面有个美籍华人薛涌总是发布系列评论，挺有意思的。前一段时间他讨论的是美国的“学霸是怎样练成的”，有兴趣者可以在新闻晨报的网站上看到以前报纸的电子版，或者百度搜索"薛涌 学霸是怎样练成的"找到系列文章。看后让我觉得同比美国，儿子现在真算是在快乐学习啊。

最近他在讨论最好的教育在哪里。
下文节选自今天的新闻晨报，电子版的链接：http://newspaper.jfdaily.com/xwcb/html/2013-11/14/content_1114085.htm[url=最好的教育在哪里?]最好的教育在哪里?[/url]
--------以下节选自新闻晨报-------
   一向自信、高傲的美国，最近出版了一系列书籍，把美国和其他国家比较，以凸显美国是多么不行。有评论家称这一风气为“自虐的满足”。其中，AmandaRipley的近著《世界最聪明的孩子》就是一例。AmandaRipley并非教育专家，而是位记者。这个题目本是她接到的采访任务，但开始工作后就一发而不可收。作为非专家，她采用的是外行人简单的办法，看看经济合作与发展组织对各国15岁孩子的能力测试结果，然后锁定了芬兰、韩国、波兰这几个成绩明显高于美国的国家进行现场采访调查，进而和美国的现实进行比较。

    她首先报道的是芬兰。芬兰学生的考分，在东亚以外的国家中是最高的，一直被美国的媒体关注。芬兰的高中，表面上看起来和美国并无太大不同。孩子们并非读书狂，反而显得很放松。AmandaRipley也发现，在芬兰，对老师的表现并没有美国那种没完没了的考核。但与美国不同的地方在于，芬兰的老师都特别称职。其奥妙是，芬兰教师社会地位高，大学里只有最优秀的学生才能竞争教师的职位。美国则正好相反。不久前有报道说，美国中小学的老师，在大学读书时往往是班上三分之一最差的学生。
  .......
    韩国则是另外一番景象。韩国的教育，重点不是公立学校，而是以“学院”，即私立补习学校为代表。韩国有7万所这样的补习学校，47%针对的是高中生。但是，许多韩国孩子还没有上小学就先进补习学校，分为数学、外语、音乐等专业，有着明确的应试导向。  .......
--------以上节选自新闻晨报-------

上文中我标上红色的部分，其实是曾经引发我思考的问题：中国呢？最好的教育、老师在哪里？
在教育产业化的大背景下，最好的教育在那些名校中么？在那些名培训机构里么？抑或就深藏在在各个家庭里面你我家长之中？也许都是，也许都不是：每个教育者、家长都需要不断学习成长，最好的教育大概只在我们的永久追求之中。

或者这根本就是个伪命题？！没有最好的教育，只有最合适的教育！每个孩子的资质不一样，家庭背景不一样，学校不一样，哪有统一，适合于所有孩子的最好的教育模式之说？

所谓因材施教，说说可以，在中小学普及教育背景下，换做你若是老师，你真的有时间和能力做到面对一个班的40个学生进行因材施教么？何况很多中小学主课老师都兼带多个班的学生呢。甚至连现在一个大学教授可能都带三个年级至少十几个研究生呢！所以我会不苛求老师对我儿子因材施教，也只好自己因材施教教了。

说到这里，其实有个很有趣的真实故事发生在我身上：前个月我差点去学而思培优做兼职老师了，后面再详谈。

[ 本帖最后由 高山仰止 于 2013-11-14 11:51 编辑 ].

多谢捧场啊。

不过再次声明一下，我们家的孩子绝对不是牛蛙，只是一个快乐成长的、有自信、但是又懒惰的小屁孩而已。不过有这么多妈妈，包括还有不少强帖的妈妈也来捧场，我也受宠若惊啊，得好好坚持写下去了。

虽然这是初中板块，但自学前阶段起，到幼儿园、小学和中学，那些我自认为得体的教育方法和学习方法，我也愿意一并在这里给大家分享下，供大家批判性地交流获借鉴。

比如关于学前识字，我曾在不经意间就在儿子身上试验出了一种自然的识字方法(绝对不是枯燥的识字卡片，强迫认字的方法，而是轻松愉快的阅读享受过程），结果他在幼儿园里就一直是识字大王，到目前还一直保持着阅读的嗜好。这个方法我还打算代代传下去呢。先卖个关子，后面慢慢详述吧。

还有一些小习惯我是从小学一直贯穿到现在，比如每天晚上看到儿子的第一件事，就是问这句话：
   儿子，今天在学校有Happy和不Happy的事情么？
儿子会说：
  先听Happy的，还是不Happy的？

哪怕当天是大考，我也不是先问考得如何诸如此类的话，总是从这个问题开始，除非他自己主动讲到考试感觉是很Happy或不Happy。其实很多时候他说的不Happy的事情，在大人眼里就不是啥大事，比如和同桌闹矛盾啊，被罚订正作业啊，等等。

这样的好处是他一直会把家长当作可以聊天的好朋友，你既可以了解到他的学习状态，也可以看到他学习以外的生活状态。特别是青春期的孩子，一定要建立好这个平等沟通的方式。

还有，在心里对孩子订一个合理的预期，如果他做到了，就要多鼓励，给他信心引导他的学习兴趣。不要总是从牛王的高度去比较孩子，除非那就是你合理的预期。

比如我认为儿子虽然有很好的资质潜力，但是他就是不愿意付出牛蛙那样的刻苦劲头，所以我的预期就是目前在牛蛙的屁股后面慢慢跟着，不要掉队。但他现在对几何已经很有兴趣了，所以我只要引导和发展他这个兴趣，也许等到初一或初二，他这个小宇宙说不定就爆炸了。现在的我就只要陪着他慢慢潜行就好了。.

上面那个”预初的第一个期中考试“的帖子写了一半还没完，一直挂着，今天给补全：

沸沸扬扬的期中考试成绩评定打听、讨论在家长群中终于归于平静了。年级的单科最高分、最低分、平均分;儿子的各科分数、对应的标准分和总分评级都有了。看起来刚好达到了我设定的目标：估计是他们班级的中等，年级10%左右吧。再往前都是A1等级，年级前5%的人, 所谓儿子口中的学霸之类的牛娃了。他们班不愧是最强班，基本占据了年级前10名的大部分，囊括前3名。所以他如果能够在此班中继续保持中等，后面的发展还是可期的。这已经大大超出了开学前我和孩子他妈所期望的年级中等了。

跟孩子他妈分析时，我毫不客气地把主要功劳记载我的身上，特别是数学：
    * 首先，原来那个知名培训机构老师的奥数小班其实只开了1个月，后来由于各种原因解散了。所以数学主要还是我教出来的，对吧？
    * 其次，孩子的错题分析、疑难问题解析都是我做的。
    * 最重要的是我坚持给儿子做的每周专题辅导讲座，都是紧扣他们的知识点，做了解题技巧总结和难题挑战拔高的。
    * 儿子这次考试居然把数学的两道道附加题都做出来的，这个辅导应该功不可没的，对吧？
孩子他妈听了虽然并不点头，但也算是默认了吧，呵呵。

说起那个知名培训机构老师的奥数小班，虽然短暂地结束了，我其实从中也有所收获吧。
1个月的奥数小班主要讲了分数裂项技巧和比例的应用题。而我的课则是紧扣学校当前的内容深入展开的，包括数的整除、分解质因数、最大公约数最小公倍数，奇偶分析等，两者并没有重叠。

1个月的奥数小班解散后，我考查了下儿子奥数小班学习情况，发现知识掌握得并不很透彻，至少有些类似的题目若换个面目出现，儿子还是会卡壳的。比如下面的分数裂项题老师讲过，儿子会做：

分数裂项1.jpg (6.66 KB)

2013-11-16 23:06

而我设计出的下面这两道新题，儿子则没做出来：

分数裂项2.jpg (15.86 KB)

2013-11-16 23:06

但其实这两道题应该是一个类型的，要是我来讲，就是要通过一道题，让孩子学会这一类题的解法，达到所谓举一反三的能力。可见，好的老师也许会把一道题透彻地讲好，而优秀的老师则是用一道题把一类题透彻地讲好。
所以每次我讲完可，总会问儿子：这类题你现在有信心做出来了吧？在得到肯定的答复后，然后在设计几道类似的题目验证下。

当然我并不是说这位名师讲得不够完美，还没教会学生举一反三的能力。也许是1个月时间太短，没法看出授课效果吧？
但是我也从这位名师身上也学到了一些好的东西，比如一些实用的授课技巧，后面再述。

[ 本帖最后由 高山仰止 于 2013-11-16 23:11 编辑 ].

上文说我从这位名师身上也学到了一些好的东西，比如一些实用的授课技巧。
我曾经问儿子：是那位名师讲得好，还是老爸讲得好？
儿子很直接地说：那位名师讲得好。
我问：为什么？
儿子说：因为他有讲课技巧，比如经常会与学生互动，会突然让人回答问题，学生不敢不集中注意力。那这些好的授课技巧我也虚心地接受和应用在孩子身上了。

其实当时他妈妈也正是因为觉得家里授课时的课堂气氛不浓（孩子经常敲着二郎腿，貌似很散漫地听我讲课），所以极力想让我尝试去学而思面试兼职老师，顺带把儿子放在我班上学习，也混点教学经验，周末她可以一个人在家享受清闲，再加上还能赚点小外快，一举四得嘛。我倒是不以为然：你是不是想着打小算盘，把烦你的父子俩赶出家门，周末落个清静吧？我从小学到研究生见过的老师多了，除了多与学生互动，冷不丁提问学生，哪还那么多的授课技巧？所谓很多的名师，不是因为授课技巧好，而是肚子里面有故事吸引学生。特别是地理、历史方面的名师就是这样做的。儿子听课姿态不好，主要是他根本没把我想象成外面的老师，还是把我当作慈父看待而已，不是我授课方法不够好嘛。其实我自己也打了另外一个小算盘：就是不要把孩子送到外面搞什么培训，免得让我去来回接送，多麻烦呀。(CathyMother在她帖子里说我境界高，这下有点看到了我真实的样子吧？）

不过想着去探听下著名培训机构情况，还能兼得那么多好处，就真去了学而思去面试且试讲了一回.....(待续).

谢谢CathyMother继续捧场，还给了鲜花!

(续上文)
说起学而思去面试过程，确实是件有点意思的事情，
很多年来，都一直是我面试别人，那天是反过来我被小一辈的年轻人面。
估计面试官第一眼看到我心里也是有点惊讶的：咦，怎么来了位大叔?

学而思的简历筛选倒是很快，我网上投递简历，第二天就打我电话，邮件试讲题目给我，约定我第三天试讲。照这个节奏，我以为面试当天会让我迅速试讲完结束战斗的，结果那天的面试过程实在是冗长。

他们从公司简介、薪金福利、全职兼职的区别、员工发展机会开始宣讲，balabala搞了快1个小时。也难怪他们要极力宣传员工发展机会，因为下面听讲者除了我外，都是在校的大学生、研究生的，学而思希望吸收大学生全职加入他们公司的。不过后来在面试等候过程中，我和大学生们聊了聊，貌似大学生们都没有全职加人学而思的打算，都是计划这里兼职赚点钱，毕业后再找其他工作。

我倒是作为过来人想指导指导他们下： 你们看过“中国合伙人”不？按照现在教育产业化的趋势，教育行业发展前景很广阔，你们怎么不愿意投身这个行业呢？
其中我内心还真有这个想法：如果有合适的机会，我真的愿意跳到教育行业，像“中国合伙人”那样，用心打造个名师培训品牌。

有大学生这么跟我说：如果看好教育行业，那不如进入中小学当老师，那里有体制内编制嘛。看来现在社会真把大学生逼得没有一点锐气和闯劲，只一味求稳和求编制。

冗长的宣讲会后，他们又搞个无领导小组讨论，话题居然是极其八卦的“猪八戒和唐僧谁适合做老公？”。把面试者分成猪八戒和唐僧两组进行辩论。我荣幸地落在猪八戒这方。辩论开始，大家纷纷唇枪舌战，好不火热。具体论据我不赘述，反正现场也驳不出啥新意，论据与网络搜索的网友观点差不多吧。我想，大概面试官想看的是各位在辩论中的逻辑条理性和控场能力吧？我预料有人会把论战搞偏的，那我不如先观战一会，关键时刻我表现一下，力挽狂澜地把偏题的论战给找回来就可以了。
果不其然，猪八戒幽默，懂得生活，有能力（会武功）；唐僧有事业心，有远大的理想抱负，不花心，balabala,大家刚开始还是有理有据，守卫本方观点。容易想到的基本论据很会被讲完了，但还有人还没开口呢，要求是每个人必须要开口的。于是有人挑起了一个新论据马上把现场引向爆炸和混乱了：
  猪八戒长得极其丑陋，谁能够忍受每天张开眼第一个看得的就是这么个丑八怪？你看看人家唐僧，典型的"高富帅"！

现场立即爆炸，所有等待开口的人都仿佛抱到佛的大腿了："高富帅"怎么啦? balabalabala, “穷矮挫”怎么啦? balabalabala,

哈哈，我在一旁观战半天，时机终于到了，该临到我这个大叔出场了....(待续)

[ 本帖最后由 高山仰止 于 2013-11-19 16:40 编辑 ].

刚才整理儿子的书架，发现有本9月份的“当代学生”杂志，封面有个导读"哈佛凌晨四点半",
翻进去看后，文中的第一句话就记入了脑海：
  我一直记着哈佛大学图书馆馆训：“现在睡觉的话，会做美梦；而现在读书的话，会将美梦变成现实。”

太让人感慨了，再次印证所谓天才和成功都是辛勤的汗水浇灌出来的！
网上搜索这个关键字"哈佛凌晨四点半"，你会找到相关文章和哈佛图书馆夜读的图片，有图有真相！

[ 本帖最后由 高山仰止 于 2013-11-19 19:36 编辑 ].

[ 本帖最后由 高山仰止 于 2013-11-19 22:35 编辑 ].

(续前文)
当有一个人抛出“高富帅”的话题后，场景辩论场面立即转入火爆。不一会已经分出两个阵营：几个女孩子支持恋爱中追求“高富帅”的观点：人往高处走，社会本来就是优胜劣汰，何况男生们不也都爱追求貌美的女子么？女生要求房子车子就不合理？至少还能给男生们奋斗的压力呢！ 几个男生则大力支持“穷矮挫”是潜力股，同甘共苦、共同奋斗的过程才最值得珍惜.....讨论得不可开交。

该我开口了。我站起来，对大家说：
  各位且慢，我们今天的论题是“猪八戒与唐僧谁更适合做老公”，可是你们现在讨论的是“高富帅”的婚姻恋爱观好不好，已经偏题了。所以大家且让我把论题扯回来吧：
  我方已经提出诸如猪八戒幽默、有能力、有生活情趣等优点作为论据，这些论据足以支持猪八戒适合做老公的论点，如果对方想反驳我们的观点，请针对我们刚才提出的这些论据来一一驳斥；
  反之，我们听到对方在论证时，提到的论据是：唐僧事业心，有远大的理想抱负，我并不否认这些都是很好的优点，但是这些优点只表明唐僧可能很适合做个好的领导者或好同事，并不能说明他适合做老公。所以如果对方想说服大家的话，请拿出诸如唐僧也懂幽默和生活情趣的论据来。
  
我的发言把男生、女生们给镇住了一会儿，然后我方阵营的人发起了热烈地鼓掌。这时台上的边观战边记录的监考面试官也脸带微笑适时地宣布辩论结束了。很快她现场宣布一些人被淘汰了，都是些刚才或方言太重，或言语中逻辑性不好，或抓不牢论点爱偏题的人。

这大概就是面试过程中最生动有趣的环节了，后面的环节就是流水线流程了：现场半小时考题笔试并立即淘汰一些人，然后5~10分钟单独试讲并再次淘汰一些人，最后是1对1面谈了。

试讲时，我选的是拿手的几何证明题。一般人可能就是讲此题的一个证明思路就好了，我是用这道试讲题搞了个小专题(如何证明两线段垂直)，讲了3、4种不同的证明思路，每种思路的辅助线是如何自然而然地想到的。结果讲了15分钟，台下面试官也还饶有兴趣地听着，超时了都没有阻止我。

1对1面谈时，面试官笑着说她自己就是教初中数学，觉得我的小专题讲很得不错，听得出对几何证题有所研究，难道是"几何业余爱好者"？就是看我是在职人员，问我为什么在职还想来兼职老师？而且她们的暑假是要求老师要连续带课1个月的，要保证对学生授课的连续性的，问我寒暑假时间能否保障。

我如实得说了我的想法，就是希望到教育行业先体验一两年，合适的话，我真的会考虑投身教育行业发展的，而且正好还可带自家小孩到班里学习。但是暑假我抽出1两个礼拜时间还可以，若要我抽出整月的假期来授课应该不是很现实。最后双方只好互相表示遗憾了。 (the end)

[ 本帖最后由 高山仰止 于 2013-11-20 14:40 编辑 ].

可以。后面贴一点几何解题思路吧..

不错，完整版的哈佛图书馆馆训。.

引用:

原帖由 burninglife 于 2013-11-20 16:49 发表
能贡献一下您的解题思路吗？

浅谈初中几何解题方法

准备说说我当时试讲的那道题目，顺便谈谈初中几何解题方法。
先把题目贴出来，后面慢慢讲吧。其实不是很难的题目，却是个蛮好的讲解证明线段垂直多种解题思路的例子：

Untitled.jpg (15.48 KB)

2013-11-21 12:07

具体解法不着急，后面再详谈。还是先从大的几何解题方法谈起吧。

我记得当年初中老师开始给我介绍几何时，说了这句话：几何几何，想破脑壳！
直到现在，我还认为这句话蛮生动形象的说明了几何解题之难学。
很多几何题目如果你直接看答案的话，会觉得答案中添加那个辅助线简直就是神来之笔，
没看答案之前自己如何想得到？何况在考试时间有限的压力环境下？

所以很多人一提到几何，马上就想要得到所谓的辅助线秘籍，有很多老师也希望想给学生灌输这类秘籍之类的东西来应对几何之难。
我更愿意通过这样的比喻来几何解题之法：
解几何题目就仿佛是射击训练：
  1) 建立武器库，熟悉每件武器的使用方法，适用条件
  2) 观察下射击目标，初步看看目标是什么，有什么明显的特征。
  3) 从武器库中挑选合适的武器
  4) 瞄准目标
  5) 射击。
  6) 如果射击失败，重复第2~5步，直至命中目标

好像有点抽象，且听我一一道来：
1) 建立武器库
什么是武器库？武器库就是几何基础知识，各种基础图形的特征、性质。

举个例子，我说“直角三角形”，你能够想到哪些相关性质？
     * 勾股定理及其逆定理
     * 斜边上的中线长度等于斜边长度的一半(或者说, 斜边中线把直角三角形分成两个等腰三角形)
很好，这是最基础的，然后？
     * 斜边上的中线长的逆定理：若某边上中线长度等于该边长度的一半，那么此三角形必是直角三角形
嗯，继续想?
     * 斜边是该直角三角形的外接圆的直径
不错，可联系到圆的知识，还有么?
     * 把直角三角形放到x-y坐标系中看，则可计算其三顶点的坐标以及边长，可与勾股定理及其逆定理结合证题
     * 把直角三角形放到x-y坐标系中看，则两直角边所在的直线方程的斜率的乘积等于-1（这个超出初中教纲，但是竞赛中可能会用到）
非常好，解析几何有时候也是解题利器的！

能够想到所有这些就差不多了。这就是我所说的武器库。 不同的知识点就仿佛是不同的武器：手枪、机枪、小钢炮... (待续......)

[ 本帖最后由 高山仰止 于 2013-11-21 18:55 编辑 ].

引用:

原帖由 tiangg 于 2013-11-24 20:30 发表
解题高手确实需要非常扎实的基础知识、举一反三方能做到风轻云淡，杀敌于无形

是的，建立在扎实的基础知识上的举一反三方能力是提高解题能力的核心。

我接着上文说。
建立武器库不是说机械地背熟各种基础图形的特征、性质就好，要做到正过来，反过去都可熟练地运用。
比方说上面附图的几何图形中，你看到了长方形，就要能够立即联想到正方形特征和性质，还看到了直角三角形，就要立即想到直角三角形的特征和性质，等等；反过来，看到要证明线段垂直，就会反过来想到哪些图形的特征中与直角有关，比如：等腰三角形的底边的中垂线，直角三角形的两直角边等等，这种综合分析能力是通过对知识点不断进行梳理和训练后形成的。

2) 观察下射击目标，初步看看目标是什么，有什么明显的特征。
就是说拿到题目后，先看看要证明什么，已知条件有什么，有哪些几何特征可以很明显匹配到你的知识库种的知识点。

拿上面附图的几何图形题目为例，待证明的结论是 BE垂直DE, 即要证明两线段垂直。题目中可看到很明显地几何特征： ABCD是长方形（内部还包含几个直角三角形）；ABF直角三角形且E是斜边中点；ACF为等腰三角形，且E是底边中点。这些特征在草稿纸上不妨记下来，当后面思维卡壳时，你可以检查下上述哪些条件和特征还未用上。

3) 从武器库中挑选合适的武器
以例题为例, 要证明的是两线段垂直(BE垂直DE)。那么从我们的武器库(知识库)中可以挑选出以下与垂直有关的知识点，比如：
      1.等腰三角形底边的中垂线
      2.直角三角形(勾股定理逆定理，斜边中线长=斜边长一半...)
      3.一条直线垂直于平行线中的一条，则必垂直于另一条。
      4.菱形的对角线互相垂直。
      5.半圆上的圆周角是直角(圆内接直角三角形)等等。
      6.解析几何：两条直线的斜率乘积=-1，则两直线垂直
      7.解析几何：通过三角形的顶点坐标，计算三边长度，可判定该三角形是否为直角三角形。
      
注意：上面单列出解析几何的两个方法，是因为很多人会忽视解析几何在证题中的用处，但是，如果题目中的基础图形都是些长方形，正三角形等，则每个点的坐标很容易求，进而很容易求出相关的直线斜率和图形的边长，从而通过代数计算达到证题的目的。

这些武器当中有些很可能是可以用来证明此题的。选取哪些武器作为攻克此题的武器呢？看看题目的已知条件和几何特征的匹配度。实际上，除了上面的第3条和第4条与已知条件不太沾边外，其他好像与此题都有匹配。
那就不妨把1, 2, 5, 6, 7都一一试来。

先附上上述运用各种武器的最后证明图:

proof.png (56.75 KB)

2013-11-25 16:21

图中红色的线是添加的辅助线（除解析几何的坐标轴外）. 运用1, 2, 5这每个知识点，则那些辅助线是很自然地就想到了。(待续)

[ 本帖最后由 高山仰止 于 2013-11-25 16:24 编辑 ].

接上文：
4) & 5) 瞄准和射击。
所谓瞄准和射击过程，就是你一个一个地尝试上述武器来攻克目标。
你需要构造出与你的所选知识点（武器）类似的图形（必要时添加辅助线），然后使用各种几何推理方法（全等与相似形、旋转、平移、翻折等）推导出你所构造的图形符合你的所选知识点的几何性质，于是命题得证。

拿具体例子来看。
证法1和2： 所选的知识点（武器）是“等腰三角形底边的中垂线”性质。
那我们必然要把待证明的两个线段放到一个等腰三角形中去看吧？那如何构造这个等腰三角形呢？
最关键点在于，这两个线段必定是：一个线段在该等腰三角形的底边上，另外一个线段就在此底边上的中线上。而且两个线段的交点必是底边的中点。 所以构造此等腰三角形的要诀就在刚才这句话中：
    两个线段的交点必是底边的中点。那么如下图，想构造的等腰三角形只有两种可能，
    情形1) 线段1作为此三角形的底边的一半，线段2则是底边上的中线。
    情形2) 或反过来，线段2作为此三角形的底边的一半，线段1则是底边上的中线。

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2013-11-26 16:20

根据此要诀我们马上自然地得到了证法1 和 证法2的辅助线画法：
    证法1：构造的目标等腰三角形是 DPB, BE在地边上，DE是中线。
    证法2：构造的目标等腰三角形是 DBS, DE在地边上，BE是中线。
于是问题转化成为:
    证法1：要证明 DPB 等腰三角形是(DE则是中垂线), 亦或 DP=DB
    证法2：要证明 DBS 等腰三角形是(BE则是中垂线), 亦或 BD=BS
到这里，问题就相对简单了：
    看看已知条件中啦些还没用到：E除了是证法1的PB的中点，或证法2的SD的中点外，还是线段AF的中点。
看到这个要马上想到武器库中的知识点：两个线段相交且互相平分，则他们构成了平行四边形的对角线。
所以证法1的PABF是矩形, 故PDCF也是矩形, 所以 AP=CF=CA=DB(反复运用矩形的对角线相等即可),所以 DPB果真是等腰三角形。
同理，证法2的ADFS是平行四边形,FS//AD, 故FS与FC共线, 所以 BS=BF+FS=BF+DA=BF+CB=CF=AC=DB(反复运用平行四边形的对边相等和对角线相等即可),所以 DBS果真是等腰三角形。
上述思路整理即可得到证明过程。

有人可能会问： 有关中点的题型中不是有这么个套路么：从中点处延长相关线段1倍。像上述的证法1, 2你分析半天，最后还不都是符合这个套路么? (证法1 在中点E处延长BE, 证法2在中点E处延长DE)

问得好，这道题是不用费这个劲分析，直接按套路就可以不问青红皂白地画出证法1 或 证法2的辅助线。考试时我也建议碰到有类似套路不妨马上去尝试下，毕竟时间有限，说不定套路可以帮你速战速决，但:
1) 平时我建议还是多使用分析与综合的思维来提升技巧。平时只管套路少动脑筋的话水平提高得慢。
2) 套路不是总奏效，千万别吊死在套路上了。比如下面这道题是用“逢中点就倍延”的方法恐怕只是死胡同吧，虽然满眼看到的条件都是中点、中点的：
比如下图中，ABCD是正方形，E是AB上的中点，F是BC边上的中点，CE与DF相交于点G。求证: 三角形AGD是等腰三角形。

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2013-11-26 16:20

这道题目用“逢中点就倍延”的老套路就不太奏效了.
所以考试时碰到套路无效时，千万别被套路把思维给堵死了，赶紧开动脑筋另辟蹊径。

[ 本帖最后由 高山仰止 于 2013-11-26 16:23 编辑 ].

不好意思，前两天稍忙点，未及时更帖。

继续以 证法3 为例说明如何证题。
证法3: 武器是 “直角三角形的斜边上的中线长度等于斜边长的一半”的特性。这个特性的逆定理可以用来证明直角三角形。

那么很自然地要想到构造一个直角三角形，找到其斜边的中点，画出斜边上的中线。然后去证明中线长度等于斜边的一半即可。

看看题中的图形： 若BE 垂直于 DE, 那么 BDE 就是摆在我们眼前的目标直角三角形了。所以很自然地我们就会去连接 BD（添加第一条辅助线BD）, BD就是期望中的斜边。

那么斜边 BD 的中点和其上的中线呢？ 这时，注意使用我们武器库中的矩形的特性： BD和AC是矩形的的两个对角线，所以两者的交点M就是BD和AC的中点。所以我们自然画出了第二条辅助线：连接EM, 则 EM 应该是斜边 BD 上的中线。

现在问题就转化为：证明 EM=(BD/2)。
注意我们说过，武器库就是几何基础知识，各种基础图形的特征、性质。要善于把各种基础图形的特征和性质做到正过来，反过去都可熟练地运用：

首先，看看还有哪些题设条件我们没有用到。哦，点 E 是AF的中点还没使用过。
然后，刚才说到过点 M 是BD的中点，那再看看ABCD是矩形，你是否可以敏锐地观察出 ADBF是梯形， EM是该梯形的中位线？ 基础知识再次发挥作用：
   1) ABCD是矩形，所以 AD // BF
   2) 点 E 和点 M 分别是该梯形两腰 AF 与 BD的中点
所以EM是该梯形的中位线，所以：EM=(AD+BF)/2,

距离我们想要的 EM=BD/2 已经非常接近了(一步之遥)，如果你可以证明 AD+BF=BD的话，命题就得证了。
还有哪个题设条件没有使用到？ 对，还有这个已知条件： CF=AC
再次运用矩形的特性：  AD=BC(矩形的对边相等), BD=AC(矩形的对角线相等)，所以：
   EM=(AD+BF)/2=(BC+BF)/2=CF/2=AC/2=BD/2， 命题可以得证了。
把上述思路整理下，就可以得出证法3的过程。

回顾证法3貌似有点巧妙，其实就是反复地运用了矩形的基础特性：对边平行且相等，对角线互相平分。最后结合梯形中位线原理，和直角三角形的斜边中线原理的逆定理得证，都是些简单的基础知识点的自然运用，并没有什么很复杂的、高深的技巧。

[ 本帖最后由 高山仰止 于 2013-11-29 13:07 编辑 ].

过于客气了，我们就是家长之间的沟通交流吧，没有谁敢自诩是专家哈。以下是鄙人一家之言：

  首先，我觉得你说的那些图形题恐怕是一些找规律的逻辑分析题目吧？不是几何题目吧？我记得小学几何是四年级开始学习的吧？（正方形、矩形、三角形的周长与面积）? 我认为找规律的图形题目与今后的平面几何立体几何关系不大。即便是小学的正方形、矩形、三角形的周长与面积学得不够好，我觉得也不影响在今后的平面几何立体几何中仍然可以学得很好。小学的几何偏重于周长和面积的计算，而初中几何的难点在于几何证明，两种关联不是很大，没必要提前焦虑的。

  其次，我觉得小学生主要是要把算术学好。就是提高计算能力，保证在一定计算速度下的准确性。这是基础。这个其实是我的心痛，因为我儿子小学没给他强调计算能力的训练，导致到目前他的计算能力还是很弱，特别是分数、小数的四则运算。每次看他做计算都心悬在空中，生怕他算错，包括应用题中的计算（即使他算式列对了，也不能保证计算准确）。

  我觉得小学生可以学一点速算技巧，比如乘法的技巧：
1）X5*X5=X*(X+1)*100+25, 比如: 15*15=225 (1*2=2), 25*25=625(2*3=6), 65*65=4225(6*7=42), 85*85=7225(8*9=72)
2) X*11的快速算法
3）(x+a)(x-a)类型的快速算法: 如47*53=50*50-3*3
4) 1a*1b类型的快速算法: 比如 16*19, 13*18, 等
乘法学好上面这些就差不多了，再多了恐怕掌握不牢(切忌贪多不烂)。
如果他对这个速算法产生了好奇心，想知道为什么，也不妨向他展示速算法的代数证明，让他领略数学的奇妙，勾起学习兴趣。

附上一套速算法的书（书写得很不错，有上述4个算法的图解介绍，还介绍了每种加减乘除速算法的代数证明）。

  最后，如果学有余力，不妨在学习三年级应用题的时候，开始引导1元1次方程的概念，然后四、五年级持续地学习方程在解应用题中的应用； 同时，在四、五年级学习几何面积计算的时候，可做三角形等积变换方面的提升。

[ 本帖最后由 高山仰止 于 2013-12-2 12:00 编辑 ].

不好意思，回复晚了点。

我说的是在我儿子身上得到验证的一种自然识字方式，很容易实践，但贵在坚持。
简单的说就是幼儿时期家长坚持与孩子陪读。具体做法是：
  从两三岁开始，从最简单的绘图本（图多字少）开始慢慢过渡到图多字也多的漫画书，家长给孩子读故事书。读的时候，要用手指依次指着你读的故事中的每个字。开始的时候孩子也许只看图，不看你点读的字。这不要紧，你只管自己手指点读即可。坚持几个月以上，奇迹就会在你孩子身上发生。某天他可能会对你说：不用你读了，我自己会看书，碰到不认识的字会问你的。

几个要点：
1）首要的是，不要明确地和孩子说，我要教你认字，而是告诉他，你在给他讲故事，这样他不会抵触。

2）不要强迫他用眼睛去看你点读的字。你只管用手指点读，也不用提醒他去看你手指点读的字。刚开始孩子肯定更多地还是被漫画绘图吸引的。但慢慢地他会对你点读的字感兴趣的，因为他会发现，图里面画的只是故事的片段，完整的故事还是藏在图下面的文字中的。或者当他问你，你为什么要手指点读字的时候，你也可以这样解释给他听（文字里藏着完整的故事哩）。不必直接回答说这样做是要教他认字!

3) 这是一个长期的过程，一是要坚持，二是要相信孩子天生的学习能力。真的很奇妙，不知不觉中你会发现某天孩子会主动说：这个字我认识；或者会主动问你：这个字是什么，含义是什么？如果他主动问，你再去教他认识那个字。

4) 培养孩子爱读书的习惯。多带他逛逛书店，建议家里给孩子开辟一个小书架。

5) 当他某天不再需要你陪读，而是要自己独立看书时，你就放手让他独自看书吧。他会在需要请教你的时候来找你的。(幼儿园中大班就可能就会独立看书了)

Hava a try!

温馨提示：
    对于爱看书的孩子，可能唯一要注意的是：别让幼儿一次看书时间太长(>30分钟），否则小学前眼睛近视了家长都不知道（我家孩子的教训，因为幼儿园一般不测视力的，到小学才知道轻度近视，但真性近视是不可逆的）。

[ 本帖最后由 高山仰止 于 2013-12-3 11:39 编辑 ].

前面的“浅谈初中几何解题方法”的话题还一直没收尾，这里收个尾吧：

还有证法5和证法6，就不详细讲述了，大致要点如下：
证法5的要点是：
  1) 长方形有个特性：四个顶点共圆，两个对角线(BD与AC)正好是圆的直径
  2) 要证明的结论 BE 垂直于 DE, 则转化为去证明点 E 也落在长方形ABCD的外接圆上即可
  3) 最后通过 角EBF=角EFB=FAC可以证明 ACBE四点共园， 即得证E也落在长方形ABCD的外接圆上

证法6是运用解析几何进行就算即可，毫无技巧，但却又非常容易证明此题（还能给出两个证明方法）：
  1) 很容易地写出点 A, B, C, D, E, F 的坐标
  2) 证明方法1： 计算直线 BE 与 DE 的斜率的乘积 -1 即可
  3) 证明方法2： 计算线段 BE、DE、BD的长度，判断其长度满足勾股定理即可。

其实就这么一道题，讲述了这么多不同的证明方法，是要强调：
1) 要重视建立和梳理知识库（你的证题武器库），每个知识点要达到举一反三的能力。
前面的各种证明方法中，都是运用那些常规的知识点进行推理和反推。那些知识点事后说起来，每个学生应该都会说知道的，但是为什么在具体的证题过程中很多学生却想不到呢？这就是你是否对知识库进行了有效的梳理，是否达到了举一反三的能力。

但是对知识库的梳理和举一反三的能力，绝不是老师把知识都在黑板上写给你看，你背一背就学到手的。
当然，首先是得把知识点记熟，但这还不够，还需要通过一定的有效训练，通过自己的领悟后，才会变成你自身的能力。

那么进行有效的训练呢？就是我前面列举的一题多解的方法。所以第二个要强调的方法就是：
2) 多尝试一题多解
平时训练时，要多进行一题多解的训练。不要仅仅满足于解出一道题目。平时练习中切忌不假思索地使用某些解题套路，貌似很容易地帮你解决了那道题目，但是你反思一下，如果你都不假思索地去完成了那些训练题，那你得到了提升么？你还去做那些训练题有什么意义？

所以一定要勤于思考，在想出了题目的一个证明方法后，不要沾沾自喜，再思考一下：
   * 还有其他的证明方法么? (可扩大思路：除了几何推理外，可否尝试面积法、三角函数法、解析几何法等来证题？)
   * 还有没有更好，更简洁的方法? 数学就是要努力追求简洁嘛。

不同的证题方法肯定会促使你去调动脑海里不同的知识点，这样不断的训练，肯定就会达到对知识点更透彻的理解和举一反三的能力。一题多解的训练效果绝不是那些简单的、机械的题海战术训练所能达到的。.

6年级比例应用题： 运用正比与反比的概念理解题目和解题。

周末给儿子讲解了这道6年级的数学题（旺网上一个牛娃妈妈贴出来的）：
某工地用三种型号的卡车运送土方，已知甲，乙，丙三种卡车载重量之比为10：7:6，速度之比为6：8：9，运送土方的路程之比是15：14：14，三种车辆的数量比是10：5：7。工程开始时，乙，丙两种车全部投入运输，但甲种车只有一半投入，直到10天后，另一半甲种车才投入工作，一共干了25天完成任务，那么，甲种车完成的工作量与总工作量之比是多少？

这个题目儿子想了下，没啥思路。估计太多的数据，之间的关系他搞不明白。就像最近刚刚学的经济问题中的利润、税收之类的计算问题，需要理解利润、售价与成本；税与计税基数等数据关系才可正确地解题。

估计上述题目中一开始就砸给他一大堆数据，他难以搞明白数据之间的关系。我就开始引导他分步解题，探索此题的解法。

我把此题拆分为两道题：
题1) 某工地用三种型号的卡车运送土方，已知甲，乙，丙三种卡车单车运送土方的工作效率之比为28:28:27。三种车辆的数量比是10：5：7。工程开始时，乙，丙两种车全部投入运输，但甲种车只有一半投入，直到10天后，另一半甲种车才投入工作，一共干了25天完成任务，那么，甲种车完成的工作量与总工作量之比是多少？

这道题貌似还是有点罗嗦，但是概念上应该还是很清晰的，没有难以理解的关系。所以儿子立刻说：这个简单，说着就列出了算式：
甲车的工作量： 28*(10/2)*10+28*10*(25-10)=5600
乙车的工作量： 28*5*25=3500
丙车的工作量： 27*7*25=4725
所以，答案是 5600/(5600+3500+4725)=32/79

所以题1应该是个很简单的题目。

那么, 题2是：
某工地用三种型号的卡车运送土方，已知甲，乙，丙三种卡车载重量之比为10：7:6，速度之比为6：8：9，运送土方的路程之比是15：14：14，求三种卡车的运送土方的工作效率之比。

儿子好像也没做过多的思考，就写出来这样的算式：
    甲:乙:丙=(10*15/6) : (7*14/8) : (6*14/9)
我问他： 算式中，为什么是(路程/速度), 他讲不出为什么，只是感觉。看来他是中了这道题的陷阱： 在以前他们学过的行程问题中，老师告诉他们的核心概念是 时间=路程/速度。所以在这里儿子就想当然的联系到了行程问题的公式： 路程/速度

这个概念有点搞。我打算从比例中的正比与反比的概念给他做引导。我这样问他：
  这个工作效率与载重量， 速度，路程有关系，对吧？
儿子表示赞同。我继续问：
  你的算式中，载重量是放在分子上的，是不是意味着：载重量越大的车子，工作效率就越大？
儿子表示赞同和理解。我解释说
  载重量与工作效率成比例；而且载重量越大，工作效率就越大。这就是叫两者成正比。
我继续问：
  那你的算式中，速度是放在分母上的，是不是意味着：运送速度越大的车子，工作效率反而就越小？
儿子说：
  应该反了，运送速度越大的车子，工作效率就越大。
我就问：
  这说明运送速度与工作效率成正比了，那他应该放到分子还是分母上了？
儿子明白了：
  应该放到分子上。
我再问：
  运送路程：路越远，运送效率是越高，还是越低呢？
儿子明白了：
  当然越低了。
我说：
  这说明路程与工作效率成反比。那你说，路程是该在分子上，还是分母上呢？
儿子回答：
  路程该在分母上了。所以比例算式是：
    甲:乙:丙=(10*6/15) : (7*8/14) : (6*9/14)=28:28:27

我看他算式列对了，应该是明白了正比与反比的意义和用法了，就顺势给他从实际的含义层面来解释为什么路程在分母上，速度在分子上：
  其实车运送的工作效率本质上是与车子在单位时间之内，车子在运送出发点和运送目的地之间的往返的次数成正比。
  注意： 与是车子往返的次数成正比。而不是与出发点与目的地的路程成正比。

  我们知道 路程=速度*时间。 那单位时间里，速度越快，车子走的路程就越大, 车子往返的次数就会更大。 所以，
         车子往返的次数 = (单位时间内车子走过的路程)/往返距离 = (时间*车速)/往返距离。
  所以上面的式子显然表明了：工作效率是与车子的车速成正比，与车子单位时间内所走的路程也成正比，但是与往返的距离成反比。

  再看看题目中说说的“运送土方的路程”，请问这个路程是指车子单位时间内所走的路程，还是运送出发点和运送目的地之间的往返距离？ 当然是后者了。

  理解了这个，你就可以从实际应用的含义中明白了，为什么“运送土方的路程”在工作效率的算式中的分母上出现，而不是像常规的行程问题中，往往出现在算式的分子上了。

回头来看，这道题目其实就是我说的那两道题合成的，主要难点还是在第一段话（题2）中。主要是在很多孩子的惯性思维中，看到距离和速度，就不假思索的把 "距离/速度" 写入算式中。

如果懂得从正比、反比的角度分析问题，就不会犯这种错误了。而且正比、反比的概念还是很容易理解的。

[ 本帖最后由 高山仰止 于 2013-12-9 16:41 编辑 ].