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[求助] 数学题求解

1楼ggmm477 ggmm477 (在这里随手写下你现在的心情) 发表于 2008-12-27 13:33  只看此人

数学题求解

题目是
已经知道：mnp=4,  m+n+p=3,m2+n2+p2=7
求分式     
1/（mn+3p）+1/(mp+3n)+1/(np+3m)
我们做不出.

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2楼Helen.mama Helen.mama (......) 发表于 2008-12-27 22:32  只看此人

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我们也做不出， 在旺旺上已有答案.

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3楼ggmm477 ggmm477 (在这里随手写下你现在的心情) 发表于 2008-12-28 12:17  只看此人

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.

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4楼血翼飞龙妈 血翼飞龙妈 (......) 发表于 2008-12-28 20:57  只看此人

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，我已经求助过了，高手已经解出了答案
（m+n)2=(3-p)2
m2+n2+2mn=9+p2-6p
7-p2+8/p=9+p2-6p
p2-3p+1-4/p=0
p3-3p2+p-4=0
(p2+1)(p-3)=1
p2+1=1/(p-3)

1/（mn+3p)=1/(4/p+3p)=p/(4+3p2)=p/(1+3+3p2)=p/[1+3(p2+1)]=p-3
1/（np+3m)=m-3
1/（mp+3n)=n-3
分式=p+m+n-9=3-9=-6.

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5楼shinedream shinedream (......) 发表于 2008-12-29 11:06  只看此人
老夫花了半个多小时的时间，得出同样答案
过程和思路是这样的
1)首先要把三个分数的分母处理一下，能处理成一样的最好，
退而求其次就是能变成几个比较有规律的乘积的形式
于是mn+3p = mn+(m+n+p)p = (p+m)(p+n)
类似的mp+3n = (n+m)(n+p)
np+3m = (m+n)(m+p)
2)第二步呢上面要求的算式就变成了
分子：(m+n)+(m+p)+(n+p) = 2(m+n+p) = 6
分母：(m+p)(m+n)(n+p)  = (3-m)(3-n)(3-p) = 27-9(m+n+p)+3(mn+np+mp)-4 =
27 - 27 +3(mn+np+mp) - 4  = 3(mp+np+mn) -4
3)第三步我们只需要计算mp+np+mn的值就可以了
2(mp+np+mn) = (m+n)2 - m2 -n2 + (n+p)2 -n2 -p2 + (m+p)2 -m2 -p2
= (3-p)2+(3-m)2+(3-n)2-2(m2+n2+p2)
= 9+9+9 - 6(m+n+p) +(m2+n2+p2) - 2(m2+n2+p2)
= 27 - 18 - 7 = 2
所以我们计算出来了mp+np+mn=1
4)最后代入上面算式的分母 = 3(mp+np+mn)-4=-1
最后的答案是6/(-1) = -6

[ 本帖最后由 shinedream 于 2008-12-29 11:22 编辑 ].

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6楼大音无声 大音无声 (......) 发表于 2008-12-29 11:25  只看此人

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这个方法也好！

[ 本帖最后由 大音无声 于 2008-12-29 11:27 编辑 ].

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7楼shinedream shinedream (......) 发表于 2008-12-29 11:25  只看此人
X3-3X2+X-4=0

m,n,p是上面这个方程的3个解。.

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8楼shinedream shinedream (......) 发表于 2008-12-29 11:30  只看此人
引用:
原帖由 大音无声 于 2008-12-29 11:25 发表
这个方法好！
是啊，清晰自然流畅，解题思路一目了然，深刻的体现了数学的对称之美。
我也很陶醉在其中，老夫有近20年没摸过奥数了，看来还是宝刀未老啊。
现在先熟悉起来，将来还要亲自辅导女儿。
顺便问一下，这个题目现在是适合几年级的？
初中还是高中？

[ 本帖最后由 shinedream 于 2008-12-29 11:35 编辑 ].

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9楼大音无声 大音无声 (......) 发表于 2008-12-29 11:31  只看此人

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初一.

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10楼大音无声 大音无声 (......) 发表于 2008-12-29 11:32  只看此人

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初一.

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11楼shinedream shinedream (......) 发表于 2008-12-29 11:34  只看此人
引用:
原帖由 大音无声 于 2008-12-29 11:32 发表
初一
奥数，还是平常的考试？.

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12楼大音无声 大音无声 (......) 发表于 2008-12-29 11:35  只看此人
平时作业考试.

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13楼shinedream shinedream (......) 发表于 2008-12-29 11:36  只看此人
引用:
原帖由 大音无声 于 2008-12-29 11:35 发表
平时作业考试
完蛋了，老夫看来也就是高中没毕业的水平了。.

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14楼大音无声 大音无声 (......) 发表于 2008-12-29 11:39  只看此人

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您过谦了.

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15楼greenjyz greenjyz (......) 发表于 2008-12-29 11:41  只看此人

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解法甚妙！
应该是初一的吧。.

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16楼ggmm477 ggmm477 (在这里随手写下你现在的心情) 发表于 2008-12-29 17:32  只看此人

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好心人.

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17楼炫炫爸 炫炫爸 (......) 发表于 2008-12-30 10:40  只看此人
初一题目，可能还是训练学生的运算能力。

但我为什么答案不是6，错在哪里？.

附件

A.JPG (55.63 KB)

2008-12-30 10:40

A.JPG

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18楼珠珠的妈妈 珠珠的妈妈 (后悔使用该品牌！！！) 发表于 2008-12-30 15:36  只看此人
啊哟，炫爸，不是一点点地认真啊！！！.

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19楼ggmm477 ggmm477 (在这里随手写下你现在的心情) 发表于 2008-12-30 17:39  只看此人
好家长，学习了。.

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20楼greenjyz greenjyz (......) 发表于 2008-12-30 17:46  只看此人

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好像原题是mnp=4，而您是mnp=1 ?.

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21楼炫炫爸 炫炫爸 (......) 发表于 2009-1-1 19:57  只看此人
引用:
原帖由 greenjyz 于 2008-12-30 17:46 发表
好像原题是mnp=4，而您是mnp=1 ?
哦，原来是这么回事.

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22楼jyuntoku jyuntoku (......) 发表于 2009-2-4 16:48  只看此人

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我猜这道题是根据一元高次代数方程的根和系数的定理构造出来的。
一元代数方程次数为2的时候其实就是教材上的韦达定理。
如果有一个好点的老师，这道题可以挖掘得很深，一致可以教到大学的代数。.

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23楼jyuntoku jyuntoku (......) 发表于 2009-2-4 16:52  只看此人
这就是典型的好题目。
如果孩子对数学有兴趣，应该鼓励孩子钻研下去，必要时看看参考书。
在学习中学数学时应该抓住每一个机会向学生展示一些更高一些观点的数学美景，引诱他们。.

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24楼apple313 apple313 (花未全开月未圆) 发表于 2009-2-4 16:58  只看此人
引用:
原帖由 jyuntoku 于 2009-2-4 16:52 发表
这就是典型的好题目。
如果孩子对数学有兴趣，应该鼓励孩子钻研下去，必要时看看参考书。
在学习中学数学时应该抓住每一个机会向学生展示一些更高一些观点的数学美景，引诱他们。
只是引导不是引诱.

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25楼shinedream shinedream (......) 发表于 2009-2-5 10:09  只看此人
引用:
原帖由 jyuntoku 于 2009-2-4 16:48 发表
我猜这道题是根据一元高次代数方程的根和系数的定理构造出来的。
一元代数方程次数为2的时候其实就是教材上的韦达定理。
如果有一个好点的老师，这道题可以挖掘得很深，一致可以教到大学的代数。
侬帮大家挖掘挖掘吧。
老夫一直有个疑问。
明显mnp三个数是对称的，而且非常有可能mnp是某个一元三次方程的三个解。
或者是一元高次方程的所有解中的三个。
但是mnp这三个数是否存在，是有理数/无理数/复数/或者压根就不存在。
如果是复数/或者不存在的数的话，这样的考题是否算错误(尽管题目本身很不错)。
老夫曾经想从已知条件去试图推导mnp不存在，很遗憾，没有成功。.

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26楼jyuntoku jyuntoku (......) 发表于 2009-2-5 11:08  只看此人

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根据高等代数基本定理，数域（复数是一个数域）上的一个n次代数方程在复数域上恰有n个根。

设m，n，p为3个复数（其实可以扩展到N个复数），
如果每次从中取出r个（不及排列次序），然后把所得的项再连加起来，所得的复数记为Qr（m，n，p）。
就是说，令：
Q0（m，n，p）=1   （这是约定）
Q1（m，n，p）=m+n+p
Q2（m，n，p）=mn+np+mp
Q3（m，n，p）=mnp
利用这个记号可以把一个一元三次方程a0X3+a1x2+a2x+a3=0（a0不等于0）的根，（m，n，p）和系数之间的关系明确地表达出来。
即，给定复数域上的3次代数方程：a0X3+a1x2+a2x+a3=0（a0不等于0），设它在复数域内的n个根是m，n，p，则：
a1/a0=-Q1（m，n，p）
a2/a0=Q2（m，n，p）
a3/a0=-Q3（m，n，p）

其实这就是3次的韦达定理，大家不妨验证一下在2次的时候，是否就是一元二次方程的韦达定理。

本题中，已经知道：mnp=4,  m+n+p=3,m2+n2+p2=7，根据后2个条件可以容易地推出mn+np+mp=1/2【（m+n+p）2-m2-n2-p2】=1。也就是确定了所有的Qr（m，n，p）。

所以可以把已知条件和一个一元三次方程对应起来（令a0=1，将非常容易地求得a1，a2，a3），让m，n，p是这个方程的3个根。

虽然3次方程是有求解公式的，可以求出具体的m，n，p的值。但要计算题目中的式子的值，我们知道是不需要求出具体的m，n，p的值的。其中的原因在于所求式子的对称性。

以上只是我王婆卖瓜，可以用”韦达定理“作为关键词在网上搜索一些参考资料，也可以参考一些大学数学教材。

至于韦达定理中的Qr为什么是这样构造的，Qr是如此地显示了对称性，其中又有什么奥秘，这就要进入更现代的数学群论才能得到解答了。

韦达定理为什么那么重要，原因就是它是沟通初等数学到高等数学，现代数学的一条黄金线索。只是我们的中学老师基本不会讲这些，而学生也只知道用韦达定理来计算，没有机会欣赏一下这个定理中蕴含的深刻的数学美。

声明：我不是学数学的，如有错误请指正。

[ 本帖最后由 jyuntoku 于 2009-2-5 11:10 编辑 ].

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27楼zhenai zhenai (点击这里放飞你的心情) 发表于 2009-2-5 11:17  只看此人
让初一学生搞这种题目实在是毁人不倦。.

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28楼shinedream shinedream (......) 发表于 2009-2-5 11:23  只看此人

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强！学习到了。
连我都是第一次看到，相信很多中学老师也不知道了。
非常感谢。
佩服佩服！.

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29楼greenjyz greenjyz (......) 发表于 2009-2-5 11:25  只看此人

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厉害啊！不是学数学的弄出这么一大堆深刻的“数学美”来。。。。.

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30楼小狮子他妈 小狮子他妈 (在这里随手写下你现在的心情) 发表于 2009-2-5 11:27  只看此人

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儿子学习了.

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31楼jyuntoku jyuntoku (......) 发表于 2009-2-5 11:43  只看此人

高次韦达定理的一个初等的证明

　　设x1，x2，……，xn是一元n次方程∑AiX^i=0的n个解。
　　则有：An(x-x1)(x-x2)……(x-xn)=0
　　所以：An(x-x1)(x-x2)……(x-xn)=∑AiX^i　（在打开(x-x1)(x-x2)……(x-xn)时最好用乘法原理）
　　通过系数对比可得：
　　A（n-1）=-An(∑xi)
　　A（n-2）=An(∑xixj)
　　…
　　A0==(-1)^n*An*ΠXi
　　所以：∑Xi=(-1)^1*A(n-1)/A(n)
　　∑XiXj=(-1)^2*A(n-2)/A(n)
　　…
　　ΠXi=(-1)^n*A(0)/A(n)
　　其中∑是求和，Π是求积。.

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