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[数学] 请教初一年级奥数题

1楼豆豆爸 豆豆爸 (......) 发表于 2008-12-8 21:20 只看此人

请教初一年级奥数题

试证：若梯形内部的n(n>=3)个点到梯形四边距离之和相等，则这n个点在同一直线上．.

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2楼ITmeansit ITmeansit (......) 发表于 2008-12-8 23:07 只看此人

设梯形ABCD，AD||BC，延长BA/CD交于E，以梯形内任一点F作一直线交EB/EC于G,H，使得EGH为等腰三角形，点F到上下底的距离都是梯形的高，则在GH上的点到腰AB,CD的距离和都相等（很容易证明，都等于G到CD的距离）。

[ 本帖最后由 ITmeansit 于 2008-12-9 20:11 编辑 ].

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3楼豆豆爸 豆豆爸 (......) 发表于 2008-12-9 19:28 只看此人

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请教；ＡＢ||ＣＤ，怎么可能相交呢？.

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4楼ITmeansit ITmeansit (......) 发表于 2008-12-9 20:12 只看此人

引用:

原帖由 豆豆爸 于 2008-12-9 19:28 发表
请教；ＡＢ||ＣＤ，怎么可能相交呢？

不好意思，笔误，已修改。.

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5楼豆豆爸 豆豆爸 (......) 发表于 2008-12-9 20:48 只看此人

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谢谢，你太莱塞了.

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6楼老姜 老姜 (热烈欢呼旺网五条杠委员会成立！) 发表于 2008-12-11 09:26 只看此人

引用:

原帖由 ITmeansit 于 2008-12-8 23:07 发表
设梯形ABCD，AD||BC，延长BA/CD交于E，以梯形内任一点F作一直线交EB/EC于G,H，使得EGH为等腰三角形，点F到上下底的距离都是梯形的高，则在GH上的点到腰AB,CD的距离和都相等（很容易证明，都等于G到CD的距离）。

从严格意义上说，ITmeansit证明的只是原命题的逆命题，非原命题。

豆豆爸要进一步搞清楚，在GH上的点到腰AB,CD的距离和都相等，为什么到腰AB,CD的距离和都相等的点都在GH上。

[ 本帖最后由老姜于 2008-12-11 09:31 编辑 ].

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7楼ITmeansit ITmeansit (......) 发表于 2008-12-11 09:41 只看此人

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为什么到腰AB,CD的距离和都相等的点都在GH上,可以采用反证法，但我不知初一的是否会用反证法，所以没有说下去。.

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8楼豆豆爸 豆豆爸 (......) 发表于 2008-12-11 22:35 只看此人

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请姜老师帮忙解答下，谢谢.

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9楼老姜 老姜 (热烈欢呼旺网五条杠委员会成立！) 发表于 2008-12-12 06:07 只看此人

引用:

原帖由 豆豆爸 于 2008-12-11 22:35 发表
请姜老师帮忙解答下，谢谢

用同一法证明：
设F1、F2是梯形中满足题意的两点，按照前面ITmeansit给出的结论，F1、F2到两腰的距离之和等于它们各自对应的G1、G2到CD的距离。由于F1、F2到两腰的距离之和相等，因而G1、G2到CD的距离相等，而AB上的不同的点到CD的距离各不相同，可见，G1、G2重合。下略。.

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