引用:
原帖由 老猫 于 2007-11-21 10:01 发表 
已知实数a、b、c满足|a|≥|b+c|,|b|≥|c+a|,|c|≥|a+b|，求a+b+c。
聪明办法没有，就来笨办法呗，总比做不出好吧？
所有实数，要么≥0，要么≤0。
可能的情况只有：
1）a、b、c都≥0
则|a|≥|b+c|即a≥b+c，得a≥b，a≥c
而|b|≥|c+a|即b≥c+a，得b≥a
故只能a=b，c=0
同理，得b=c，a=0
因此，原式只能在a=b=c=0时成立，
a+b+c=0
2）2个数都≥0，另1个数≤0
由于已知条件的对称性，不妨设a≥0，b≥0，c≤0
则|c|≥|a+b|即-c≥a+b，得-c≥a，-c≥b，即a+c≤0，b+c≤0
而|a|≥|b+c|即a≥-(b+c),得-c≤a+b,
同理，|b|≥|c+a|即b≥-(c+a),得-c≤a+b
故只能-c=a+b
因此，a+b+c=0
3）1个数≥0，另2个数都≤0
由于已知条件的对称性，不妨设a≥0，b≤0，c≤0
则|a|≥|b+c|即a≥-b-c,得a≥-b,a≥-c，即a+b≥0,a+c≥0
而|b|≥|c+a|即-b≥a+c,得a≤-b-c
同理，|c|≥|a+b|即-c≥a+b,得a≤-b-c
故只能a=-b-c
因此，a+b+c=0
4）a、b、c都≤0
则|a|≥|b+c|即-a≥-b-c，得-a≥-b，-a≥-c
而|b|≥|c+a|即-b≥-c-a，得-b≥-a
故只能a=b，c=0
同理，得b=c，a=0
因此，原式只能在a=b=c=0时成立，
a+b+c=0
综合上述，结论是a+b+c=0.
